Розуміння похідного відхилення відхилення від дисперсії

Я читаю розділ компрометації дисперсії Елементи статистичного навчання, і я сумніваюся у формулі на сторінці 29. Нехай дані виникають із такої моделі, що

Y = f (х) + ϵ

$Y = f(x)+\epsilon$ де - випадкове число з очікуваним значенням та варіацією . Нехай очікуване значення похибки моделі - де - передбачення нашого учня. Згідно з книгою, помилка є

ϵ

$\epsilon$

\hat{ϵ} = E [ϵ] = 0

$\hat{\epsilon} = E[\epsilon]=0$

E [(ϵ - \hat{ϵ})^{2}] = E [ϵ^{2}] = σ^{2}

$E[(\epsilon - \hat\epsilon)^2]=E[\epsilon^2]=\sigma^2$

E [(Y - f_{k} (x))^{2}]

$E[(Y-f_k(x))^2]$

f_{k} (x)

$f_k(x)$

x

$x$

Е [(Y - f_{к} (х))^{2}] = σ^{2} + Б i а с (f_{к})^{2} + V а r (f_{к} (х)) .

$E[(Y-f_k(x))^2]=\sigma^2+Bias(f_k)^2+Var(f_k(x)).$

Моє запитання, чому термін зміщення не дорівнює 0? розвиваючи формулу помилки, я бачу

E [(Y - f_{k} (x))^{2}] = E [(f (x) + ϵ - f_{k} (x))^{2}] = E [(f (x) - f_{k} (x))^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + E [ϵ^{2}] = V a r (f_{k} (x)) + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2}

$E[(Y-f_k(x))^2]=\\ E[(f(x)+\epsilon-f_k(x))^2]=\\ E[(f(x)-f_k(x))^2]+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+E[\epsilon^2]=\\ Var(f_k(x))+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2$

як - незалежне випадкове число $\epsilon$ $2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]=2E[(f(x)-f_k(x))]E[\epsilon]=0$

Де я помиляюся?

— emanuele
джерело

Відповіді:

Ви не помиляєтеся, але ви помилилися за один крок, оскільки . - . $E[(f(x)-f_k(x))^2] \ne Var(f_k(x))$ $E[(f(x)-f_k(x))^2]$ $\text{MSE}(f_k(x)) = Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x))$

\begin{aligned} E [(Y - f_{k} (x))^{2}] & = E [(f (x) + ϵ - f_{k} (x))^{2}] \\ = E [(f (x) - f_{k} (x))^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + E [ϵ^{2}] \\ = E [{(f (x) - E (f_{k} (x)) + E (f_{k} (x)) - f_{k} (x))}^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2} \\ = V a r (f_{k} (x)) + {Bias}^{2} (f_{k} (x)) + σ^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} E[(Y-f_k(x))^2]& = E[(f(x)+\epsilon-f_k(x))^2] \\ &= E[(f(x)-f_k(x))^2]+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+E[\epsilon^2]\\ &= E\left[\left(f(x) - E(f_k(x)) + E(f_k(x))-f_k(x) \right)^2 \right] + 2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2 \\ & = Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x)) + \sigma^2. \end{align*}$

Примітка: $E[(f_k(x)-E(f_k(x)))(f(x)-E(f_k(x))] = E[f_k(x)-E(f_k(x))](f(x)-E(f_k(x))) = 0.$

— Грінпаркер
джерело

У разі бінарних результатів Чи існує еквівалентний доказ з перехресною ентропією як міра помилки?

— emanuele

З двійковим відгуком це не дуже добре. Див. Вихід 7.2 у другому виданні "Елементи статистичного навчання".

— Метью Друрі

ви могли б пояснити, як ви йдете від

до

E [{(f (x) - E (f_{k} (x)) + E (f_{k} (x)) - f_{k} (x))}^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2}

$E\left[\left(f(x) - E(f_k(x)) + E(f_k(x))-f_k(x) \right)^2 \right] + 2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2$

V a r (f_{k} (x)) + {Bias}^{2} (f_{k} (x)) + σ^{2}

$Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x)) + \sigma^2$

— Антуан

Ще кілька кроків зміщення зміщення - дисперсія

Дійсно, повна деривація рідко дається в підручниках, оскільки вона містить багато алгебри, що не надихає. Ось більш повна деривація з використанням позначень із книги "Елементи статистичного навчання" на сторінці 223

Якщо ми припустимо , що $Y = f(X) + \epsilon$ і $E[\epsilon] = 0$ і $Var(\epsilon) = \sigma^2_\epsilon$ , то можна отримати вираз для очікуваної помилки прогнозу регресії підгонки на вході використовуючи квадратичну втрату помилок $\hat f(X)$ $X = x_0$

E r r (x_{0}) = E [(Y - \hat{f} (x_{0}))^{2} | X = x_{0}]

$Err(x_0) = E[ (Y - \hat f(x_0) )^2 | X = x_0]$

Для простоти позначень нехай , , і нагадаємо , що і $\hat f(x_0) = \hat f$ $f(x_0) = f$ $E[f] = f$ $E[Y] = f$

\begin{aligned} E [(Y - \hat{f})^{2}] & = E [(Y - f + f - \hat{f})^{2}] \\ = E [(y - f)^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 E [(f - \hat{f}) (y - f)] \\ = E [(f + ϵ - f)^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 E [f Y - f^{2} - \hat{f} Y + \hat{f} f] \\ = E [ϵ^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 (f^{2} - f^{2} - f E [\hat{f}] + f E [\hat{f}]) \\ = σ_{ϵ}^{2} + E [(f - \hat{f})^{2}] + 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} E[ (Y - \hat f)^2 ] &= E[(Y - f + f - \hat f )^2] \\ & = E[(y - f)^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2 E[(f - \hat f)(y - f)] \\ & = E[(f + \epsilon - f)^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2E[fY - f^2 - \hat f Y + \hat f f] \\ & = E[\epsilon^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2( f^2 - f^2 - f E[\hat f] + f E[\hat f] ) \\ & = \sigma^2_\epsilon + E[(f - \hat f)^2] + 0 \end{aligned}$

Для терміна $E[(f - \hat f)^2]$ , ми можемо використовувати подібний трюк , як описано вище, додавання і віднімання $E[\hat f]$ , щоб отримати

\begin{aligned} E [(f - \hat{f})^{2}] & = E [(f + E [\hat{f}] - E [\hat{f}] - \hat{f})^{2}] \\ = E {[f - E [\hat{f}]]}^{2} + E {[\hat{f} - E [\hat{f}]]}^{2} \\ = {[f - E [\hat{f}]]}^{2} + E {[\hat{f} - E [\hat{f}]]}^{2} \\ = B i a s^{2} [\hat{f}] + V a r [\hat{f}] \end{aligned}

$\begin{aligned} E[(f - \hat f)^2] & = E[(f + E[\hat f] - E[\hat f] - \hat f)^2] \\ & = E \left[ f - E[\hat f] \right]^2 + E\left[ \hat f - E[ \hat f] \right]^2 \\ & = \left[ f - E[\hat f] \right]^2 + E\left[ \hat f - E[ \hat f] \right]^2 \\ & = Bias^2[\hat f] + Var[\hat f] \end{aligned}$

Збираючи його разом

E [(Y - \hat{f})^{2}] = σ_{ϵ}^{2} + B i a s^{2} [\hat{f}] + V a r [\hat{f}]

$E[ (Y - \hat f)^2 ] = \sigma^2_\epsilon + Bias^2[\hat f] + Var[\hat f]$

Деякі коментарі про те, чому $E[\hat f Y] = f E[\hat f]$

Взяті з Алекос Пападопулос тут

Нагадаємо , що є прогностичним ми побудували на основі точок даних , тому ми можемо написати пам'ятати , що. $\hat f$ $m$ $\{(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)}) \}$ $\hat f = \hat f_m$

З іншого боку, $Y$ - це прогноз, який ми робимо на новій точці даних $(x^{(m+1)},y^{(m+1)})$ , використовуючи модель, побудовану на $m$ точках даних вище. Тож середня помилка у квадраті може бути записана як

E [{\hat{f}}_{m} (x^{(m + 1)}) - y^{(m + 1)}]^{2}

$E[\hat f_m(x^{(m+1)}) - y^{(m+1)}]^2$

Розширення рівняння з попереднього розділу

E [{\hat{f}}_{m} Y] = E [{\hat{f}}_{m} (f + ϵ)] = E [{\hat{f}}_{m} f + {\hat{f}}_{m} ϵ] = E [{\hat{f}}_{m} f] + E [{\hat{f}}_{m} ϵ]

$E[\hat f_m Y]=E[\hat f_m (f+ \epsilon)]=E[\hat f_m f+\hat f_m \epsilon]=E[\hat f_m f]+E[\hat f_m \epsilon]$

Останню частину рівняння можна розглядати як

E [{\hat{f}}_{m} (x^{(m + 1)}) \cdot ϵ^{(m + 1)}] = 0

$E[\hat f_m(x^{(m+1)}) \cdot \epsilon^{(m+1)}] = 0$

Since we make the following assumptions about the point $x^{(m+1)}$ :

It was not used when constructing $\hat f_m$
It is independent of all other observations $\{(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)}) \}$
It is independent of $\epsilon^{(m+1)}$

Other sources with full derivations

— Xavier Bourret Sicotte
джерело

Чому?

E [\hat{f} Y] = f E [\hat{f}]

$E[\hat{f}Y]=f E[\hat{f}]$ ? Я не думаю

Y

$Y$ і

\hat{f}

$\hat{f}$ є незалежними, оскільки

\hat{f}

$\hat{f}$ по суті побудований з використанням

Y

$Y$ .

— Феліпе Перес

Але питання по суті те саме, чому

E [\hat{f} ϵ] = 0

$E[\hat{f}\epsilon]=0$ ? Випадковість

\hat{f}

$\hat{f}$ походить від помилки

ϵ

$\epsilon$ тому я не бачу, чому б це зробити

\hat{f}

$\hat{f}$ і

ϵ

$\epsilon$ бути незалежним, а значить,

E (\hat{f} ϵ) = 0

$\mathbb{E}(\hat{f}\epsilon)=0$ .

— Феліпе Перес

З вашої точності здається, що вибір у вибірці проти вибірки є надзвичайно важливим. Це так? Якщо ми працюємо лише за зразком, то, див

ϵ

$\epsilon$ як залишкові відхилення відхилення відхилення зникають?

— markowitz

@ FelipePérez, наскільки я розумію, випадковість

\hat{f}

$\hat{f}$ походить від розбивки на випробування поїздів (які бали опинилися в тренувальному наборі та дали

\hat{f}

$\hat{f}$ як підготовлений прогноз). Іншими словами, дисперсія

\hat{f}

$\hat{f}$ походить з усіх можливих підмножин даного фіксованого набору даних, які ми можемо взяти за навчальний набір. Оскільки набір даних фіксований, випадковості від цього не виникає

ϵ

$\epsilon$ і тому

\hat{f}

$\hat{f}$ і

ϵ

$\epsilon$ є незалежними.

— Альберто Сантіні

Розуміння похідного відхилення відхилення від дисперсії

Ще кілька кроків зміщення зміщення - дисперсія

Деякі коментарі про те, чому E[f^Y]=fE[f^]E[f^Y]=fE[f^]E[\hat f Y] = f E[\hat f]

Other sources with full derivations

Деякі коментарі про те, чому $E[\hat f Y] = f E[\hat f]$