Регресія в середньому проти помилковості гравця

З одного боку, у мене середній регрес, а з іншого - помилковість гравця .

Помилковість Гамблера визначається Міллером і Санджурьо (2019) як "помилкова віра в те, що випадкові послідовності мають систематичну тенденцію до розвороту. Час підряд вважатиметься непропорційно ймовірним, що впаде хвости на наступному випробуванні.

Я мав гарну результативність в останній грі, і, відповідно до регресу, мабуть, у наступній грі я матиму гірший результат.

Але відповідно до помилковості азартного гравця: Розгляньте наступні дві ймовірності, припускаючи справедливу монету

1. ймовірність 20 голів, то 1 хвіст =$0.5^{20} × 0.5 = 0.5^{21}$
2. ймовірність 20 голів, то 1 голова =$0.5^{20} × 0.5 = 0.5^{21}$

Потім...

Розглянемо простий приклад: Клас учнів приймає 100-предметний істинний / хибний тест з предмету. Припустимо, що всі студенти обирають випадковим чином з усіх питань. Тоді оцінка кожного учня буде реалізацією однієї сукупності незалежних і однаково розподілених випадкових величин із очікуваним середнім значенням 50.

Звичайно, деякі студенти випадково наберуть значно вище 50, а деякі значно нижче 50. Якщо можна взяти лише 10% студентів, які набрали найбільшу оцінку, і повторно здають їм тест, на якому вони знову обирають випадковим чином по всіх предметах, середній бал, як очікується, знову буде близько 50.

Таким чином, середнє значення цих студентів буде «регресувати» аж до середнього рівня для всіх студентів, які склали оригінальний тест. Незалежно від того, що студент набрав на оригінальному тесті, найкращий прогноз їх балів на другому тесті - 50.

У спеціальному випадку, якщо хтось забирає лише 10% студентів, які набрали найбільшу кількість балів, і дає їм другий тест, на якому вони знову обирають випадковим чином по всіх предметах, середній бал, як очікується, знову буде близько 50.

Відповідно до помилок азартних гравців, чи не слід очікувати такої ж ймовірності для забивання, а не обов'язково, швидше, до 50?

Міллер, Дж. Б. та Санджурьо, А. (2019). Як досвід підтверджує помилковість гравця, коли розмір вибірки нехтується.

Я думаю, що плутанину можна вирішити, враховуючи, що поняття "регресія до середнього" насправді не має нічого спільного з минулим. Це лише тавтологічне спостереження, що при кожній ітерації експерименту ми очікуємо середній результат. Отже, якщо раніше у нас був результат вище середнього, тоді ми очікуємо гіршого результату, або якщо у нас був результат нижче середнього, ми очікуємо кращого. Ключовим моментом є те, що саме очікування не залежить від будь-якої попередньої історії, як це стосується помилок азартних гравців.

Якби ви опинилися в такій позі, як раціональна людина (і припускаючи чесну монету), найкращим варіантом було б просто здогадуватися. Якби ви опинилися в такій позиції, як забобонний азартний гравець, найкращим варіантом було б поглянути на попередні події та спробувати виправдати свої міркування про минуле - напр. "Ух, голови горячі , час розкусити!" або «Там немає ніякого способу , яким ми будемо бачити ще голови - ймовірність такого роду смугу неймовірно низько!».

Помилковість азартного гравця не усвідомлює, що кожна конкретна струна з 20 монет кидає нас шалено навряд чи - наприклад, дуже навряд чи перевернути 10 голів, а потім 10 хвостиків, дуже навряд чи перевернути чергуються голови та хвости, дуже навряд чи розколоться на 4-х та ін. . Навіть дуже неправдоподібно перевернути HHTHHTTTHT .. тому що для будь-якого рядка існує лише один спосіб, щоб це відбулося з багатьох різних результатів . Таким чином, зарахування будь-якого з них як "вірогідного" або "малоймовірного" є помилкою, оскільки всі вони є безперечними.

Регресія в середньому - це правильно обгрунтоване переконання, що в перспективі ваші спостереження повинні сходитися до кінцевого очікуваного значення. Наприклад, я можу зробити ставку на те, що 10 з 20 монет кидає - це добре, тому що існує багато способів цього досягти. Ставка на 15 з 20 істотно менша, оскільки існує набагато менше рядків, які досягають остаточного підрахунку. Варто зауважити, що якщо сидіти і перегортати (справедливі) монети досить довго, у кінцевому підсумку ви закінчите щось приблизно 50/50 - але у вас не вийде щось, що не має "прожилок" чи іншого малоймовірного події в ній. У цьому полягає суть різниці цих двох понять.

TL; DR : Регресія в середньому говорить про те, що з часом ви отримаєте розподіл, який відображає очікуване в будь-якому експерименті. Помилковість азартного гравця (помилково) говорить про те, що кожен окремий фліп монети має пам'ять щодо попередніх результатів, що має вплинути на наступний незалежний результат.

Я завжди намагаюся пам’ятати, що регресія до середнього не є компенсаційним механізмом спостереження за оточуючими.

Не існує жодних причинно-наслідкових зв’язків між тим, щоб провести видатний азартний пробіг, а потім пройти 50-50 після цього. Це просто корисний спосіб пам’ятати, що, вибираючи вибірку з розподілу, ви, швидше за все, бачите значення, близькі до середнього (подумайте, що тут має говорити нерівність Чебишева).

Ось простий приклад: ви вирішили кинути 200 монет. Поки ви кинули 100 з них, і вам дуже пощастило: на 100% підійшли голови (неймовірно, я знаю, але давайте просто все буде просто).

За умови 100 головок у 100 перших кидках, ви очікуєте, що в кінці гри будете мати 150 голів. Надзвичайним прикладом помилковості азартного гравця буде думати, що ви все одно очікуєте лише 100 голів загалом (тобто очікувану величину перед початком гри), навіть після отримання 100 в перших 100 кидках. Гравець помилково вважає, що наступні 100 кидок повинні бути хвостами. Прикладом регресу до середнього значення (у цьому контексті) є те, що очікується, що ваш 100-відсотковий темп руху знизиться до 150/200 = 75% (тобто до середнього рівня 50%), коли ви закінчите гру.

Я можу помилитися, але я завжди вважав, що різниця полягає у здобутті незалежності.

У помилковості Азартного гравця питання полягає в нерозумінні незалежності. Впевнений, що за велику кількість викинутих монет ви будете приблизно 50-50 розколів, але якщо випадково ви цього не зробите, думка, що наступні T кидання допоможуть вирівняти шанси, неправильна, тому що кожен кидок монети не залежить від попередній.

Регресія до середини - це те, де я бачу, що вона використовується, якась ідея, що нічия залежать від попередніх малюнків або попереднього обчисленого середнього / значення. Наприклад, нехай використовується відсоток зйомки в НБА. Якщо гравець "А" зробив в середньому 40% своїх пострілів протягом своєї кар'єри і розпочав новий рік, вистріливши 70% у своїх перших 5 іграх, розумно думати, що він буде регресувати до середнього рівня в кар'єрі. Існують залежні фактори, які можуть і впливатимуть на його гру: гарячі / холодні смуги, гра в команді, впевненість і простий факт, що якби він підтримував 70% зйомки протягом року, він абсолютно знищив би кілька записів, які просто неможливі фізичні подвиги (за існуючих можливостей професійних гравців у кошик). Коли ви граєте більше ігор, відсоток стрілянини, ймовірно, знизиться до середнього рівня в кар’єрі.

Ключовим є те, що ми не маємо ніякої інформації, яка допомогла б нам у наступній події (помилковість азартних гравців), оскільки наступна подія не залежить від попередньої події. Ми можемо обґрунтувати здогадки про те, як пройде серія випробувань. Ця обґрунтована здогадка - це середній приблизно наш очікуваний середній результат. Отже, коли ми спостерігаємо відхилення середньої тенденції назад до середньої, з часом / випробувань, то ми спостерігаємо регрес до середнього.

Як можна помітити, що регрес до середнього значення - це спостережувана серія дій , це не є передбачувачем. Оскільки проводиться більше випробувань, все буде більш наближеним до нормального / гауссового розподілу. Це означає, що я не роблю жодних припущень і не здогадуюсь про те, яким буде наступний результат. Використовуючи закон великої кількості, я можу теоретизувати, що, хоча речі можуть рухатися в один бік в даний час, з часом все вирівняється. Коли вони самі балансують, набір результатів регресував до середнього. Тут важливо зазначити, що ми не кажемо, що майбутні випробування залежать від минулих результатів. Я просто спостерігаю за зміною балансу даних.

У помилка гравця , як я розумію , що це більш безпосереднє в його цілі і спрямована на передбачення майбутніх подій. Це відстежує те, що забажає азартний гравець. Зазвичай ігрові випадки тривалий час нахиляються до азартних гравців, тому гравець хоче знати, яким буде наступне випробування, оскільки вони хочуть скористатися цими знаннями. Це призводить до того, що азартний гравець помилково припускає, що наступне випробування залежить від попереднього випробування. Це може призвести до нейтрального вибору типу:

Останні п'ять разів колесо рулетки приземлялося на чорному, тому наступного разу я ставлю великі на червоне.

Або вибір може бути корисним:

Останні 5 рук я отримав повний дім, тому я ставлюсь на великі ставки, тому що я на виграшній смузі і не можу програти.

Отже, як ви бачите, є кілька ключових відмінностей:

1. Регресія в середньому не передбачає, що незалежні випробування залежать від помилковості гравця.

2. Регресія в середньому застосовується для великої кількості даних / випробувань, коли помилка гравця стосується наступного випробування.

3. Регресія до середнього описує те, що вже відбулося. Помилковість Габблера намагається передбачити майбутнє на основі очікуваного середнього та минулих результатів.

Чи студенти з вищими класами, які гірше оцінюються на шахраїв, які перевіряють тестування?

Запитання отримало істотну редакцію після останньої з шести відповідей.

$100$

Або вони повинні просто триматися подалі від колеса рулетки?

$50\%$$50\%$$100$$50$

$60\%$$2.8\%$$3000$$60%$$85$

$85$$60\%$$50\%$$100$$60\%$$2.8\%$$2$$85$$2.8\% \cdot 85$$60\%$

$50\%$$100$$50$$50$

Пощастило монет і пощастило сальто

$1000$$55\%$$G$$1000$$45\%$$B$$1000$$F$) і випадковим чином розподілити їх. Це аналогічно припущенню вищої та нижчої здатності / знань під час тесту з прикладу, але легше правильно міркувати про неживих об'єктах.

$(55 \cdot 1000 + 45 \cdot 1000 + 50 \cdot 1000)/3000 = 50$$60\%$$18.3\%$$0.2\%$$2.8\%$$60\%$$7.1\%$$60\%$$21$

$21$$60\%$$50\%$$100$$86\% = 18.3\%/(18.3\% + 0.2\% + 2.8\%)$$1\% = 0.2\%/(18.3\% + 0.2\% + 2.8\%)$$13\%$$86\% \cdot 55 + 1\% \cdot 45 + 13\% \cdot 50 = 54.25$$100$$60$$50$

Тож навіть коли деякі монети кращі за інші, випадковість монети перевертає означає, що відбір найкращих виконавців з тесту все одно буде демонструвати деякий регрес до середнього значення на повторному тестуванні. У цій модифікованій моделі гарячість вже не є відвертою помилкою - забивши краще в першому раунді, це означає більш високу ймовірність мати гарну монету! Однак помилковість азартних гравців як і раніше залишається помилкою - тих, хто зазнав удачі, не можна очікувати, що вони будуть компенсовані невдачею при повторному випробуванні.

Вони говорять те саме. Вас здебільшого збентежили, оскільки жоден експеримент на прикладі гортання монети не має надзвичайного результату (H / T 50/50). Змініть це на "перегортання десяти ярмаркових монет одночасно в кожному експерименті", і азартні гравці хочуть все виправити. Тоді екстремальним вимірюванням буде те, що ти випадково бачиш, що всі вони - голови.

Помилка азартних гравців: трактуйте кожен результат азартної гри (результат гортання монети) як IID . Якщо ви вже знаєте розподіл цих IID-акцій, то наступне передбачення має виходити безпосередньо з відомого розподілу і не має нічого спільного з історичними (або майбутніми) результатами (так само, як і інші IID).

Регрес до середнього: ставляться до кожного результату тесту як до IID (оскільки студент вважає, що він здогадується випадковим чином і не має справжньої майстерності). Якщо ви вже знаєте дистрибуцію цих IID-акцій, то наступне передбачення виходить безпосередньо з відомого розподілу і не має нічого спільного з історичними (або майбутніми) результатами (так само, як і інші IID) ( так само, як і раніше ). Але, за CLT , якщо ви помітили екстремальні значення в одному вимірі (наприклад, випадково ви взяли вибірку лише в топ-10% студентів з першого тесту), ви повинні знати, що результат наступного спостереження / вимірювання все ще буде генерований з відомих розподіл (і, таким чином, більше шансів бути ближчим до середнього, ніж залишатися в крайності).

Отже, обидва кажуть, що наступне вимірювання відбуватиметься з розподілу замість минулих результатів.

Нехай X і Y - дві однорідні випадкові величини на [0,1]. Припустимо, ми спостерігаємо їх один за одним.

Хибність гравця: P (Y | X)! = P (Y) Це, звичайно, нісенітниця, оскільки X і Y незалежні.

Регресія до середнього значення: P (Y <X | X = 1)! = P (Y <X) Це правда: LHS дорівнює 1, LHS <1

Дякуючи вашим відповідям, я думаю, що я міг зрозуміти різницю між середньою регресією та помилкою гравця. Навіть більше, я створив базу даних, щоб допомогти мені проілюструвати «справжній» випадок.

Я вибудував таку ситуацію: я зібрав 1000 учнів і поставив їх, щоб зробити тест, випадково відповідаючи на запитання.

Тестовий бал становить від 01 до 05. Оскільки вони випадковим чином відповідають на запитання, тому кожен бал має 20% шансів на його досягнення. Тож для першого тесту кількість учнів із оцінкою 05 повинна бути чимось близькою до 200

$1000*0,20$

$200$

У мене було 196 учнів із оцінкою 05, що дуже близько до очікуваних 200 учнів.

Тому я ставлю тих 196 учнів, які повторюють тест, очікується 39 учнів із оцінкою 05.

$196*0,20$

$39$

Ну, за результатами я отримав 42 студентів, що в межах очікуваного.

Для тих, хто отримав бал 05, я поставив їх повторити тест і так далі ...

Тому очікуваними цифрами були:

Очікуваний РЕТЕСТ 03

$42*0,20$

$8$

(3.3) Результати (8)

Очікуваний РЕТЕСТ 04

$8*0,20$

$1,2$

(4.3) Результати (2)

Очікуваний РЕТЕСТ 05

$2*0,20$

$0,1$

(4.3) Результати (0)

$0,20^4$

$0,20^5 = 0,00032$

$0,00032 * 3500 = 1.2$

Тому ймовірність того, що один студент отримує бал 05 у всіх тестах 05, не має нічого спільного з його останнім балом, я маю на увазі, я не повинен обчислювати ймовірність кожного тесту окремо. Я повинен шукати ці 05 тестів як одну подію і обчислити ймовірність цієї події.