Що таке ізотропна (сферична) матриця коваріації?

Чи не міг би хтось простим чином пояснити мені, що таке ізотропна матриця коваріації? Я нічого не можу знайти в Інтернеті.

terminology covariance-matrix definition

— тест
джерело

Матриця коваріації називається ізотропною , або сферичною , якщо вона пропорційна матриці тотожності: тобто вона діагональна, і всі елементи на діагоналі рівні. $\mathbf C$

С = λ Я,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Це визначення не залежить від системи координат; якщо ми обернемо систему координат з ортогональною матрицею обертання , то матриця коваріації перетвориться в тобто залишиться колишнім. $\mathbf V$

V^{⊤} С V = V^{⊤} \cdot λ Я \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ Я = λ Я,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Інтуїтивно зрозуміла, що ізотропна матриця коваріації відповідає "сферичній" хмарі даних. Куля залишається сферою після обертання.

— амеби
джерело

Що робити, якщо змінні можна повернути до місця

λ I

$\lambda \mathbf I$ коваріаційна матриця?

— Аксакал

@Aksakal Дивіться оновлення.

— амеба

+1. Але як не дивно, зовсім інше визначення «ізотропний» також відноситься до

C

$C$ тому що - як зазвичай це стосується коваріаційних матриць - вона являє собою квадратичну форму на реальному векторному просторі. Але в цьому іншому сенсі єдиною ізотропною матрицею коваріації є нульова матриця!

— whuber

@whuber Цікаво! Я не пам’ятав, що існує поняття «ізотропні» квадратичні форми. Але читання цього визначення, невже би будь-яка матриця коваріації з принаймні одним нульовим власним значенням не була «ізотропною» в цьому сенсі?

— амеба

Ви маєте рацію - я неправильно вказав квантор. За визначенням, ізотропна квадратична форма має щонайменше один ненульовий ізотропний вектор (а не всі вектори, які є ізотропними).

— whuber

Коваріація є лише функцією $|x - x'|$ . Ви можете знайти визначення там .

Редагувати: вибачте, що я неправильно прочитав, матриця правильна відповідь - це амеба.

— мікрофон
джерело

Питання задаються про коваріаційну матрицю . Звичайно, матриця може розглядатися як функція, але я думаю, це вимагає певної розробки для ОП.

— амеба