Чи коли-небудь буде нещасний Трибл в Озі?

Ось кумедна проблема, яку приніс мені студент. Хоча вона спочатку була висловлена з точки зору взаємно знищених куль, вистрілених через рівні проміжки часу через гармати, я подумав, що вам може сподобатися більш спокійне уявлення.

У нескінченному плоскому світі Оза дорога Жовтої цегли починається в центрі Смарагдового міста, розкручується по всій сільській місцевості і триває вічно, не перетинаючи себе. Опівдні кожного дня один юрливий молодий гермафродитний Трібл відправляється котитися цією дорогою від свого походження з рівномірно вибраною швидкістю до одного кілометра на день. Протягом усієї своєї дороги він буде котитися з однаковою швидкістю, ніколи не зупиняючись. Але якщо коли-небудь одна Трибла наздоганяє іншу на дорозі, кожен миттєво розпізнає свою споріднену душу і двоє відпадають убік (імовірно, щоб відтворити і, врешті-решт, подати більше Триблів додому).

Як відомо, такі матування трапляються часто, тому що шанс будь-яких двох Триблів котитися з однаковою швидкістю дорівнює нулю. О щасливі Трійці! Але чи гарантується життя хорошим для всіх?

Який шанс, щоби принаймні одна Трибла продовжилася назавжди, ніколи не обганяючи і не наздоганяючи?

probability stochastic-processes puzzle

— дзижчати
джерело

Чи передбачає це припущення, що Tribbles почав подорожувати в певний момент часу (так що існував Tribble №1) і продовжує вічно з того часу, і ймовірність повинна бути обчислена за цей нескінченний проміжок часу?

— Амеба каже: Поновіть Моніку

@amoeba Якщо ви вважаєте, що це має значення для того, щоб припустити, що був певний час початку, було б дуже цікаво проаналізувати цю різницю.

— whuber

math.stackexchange.com/questions/1526292/colliding-bullets

— Alex R.

Тріблі в Озі? Ваші вигадані всесвіти здаються трохи змішаними.

— Кодіолог

@Kodio Обидва світобудови добре відомі тим, що перетинаються з іншими всесвітами :-).

— качан

Редагувати: Я, здається, змішав ідею позитивної ймовірності та ймовірності 1. Стверджуване тут доведення набагато слабше, ніж я сподівався.

Інтуїтивно відповідь - 0. Це не важко довести

Будь-який даний Tribble з позитивною ймовірністю зрештою отримує пару.

Але я думаю, що цього може бути недостатньо, щоб мати на увазі, що з позитивною ймовірністю кожна суть зрештою отримує пару, за парадоксом Зенона.

Ось доказ цитованої заяви. Спочатку давайте замінимо проблему на більш просту альтернативну формулювання наступним чином. Є стек, який починається порожнім. Комп'ютер малює випадкові величини послідовно незалежно та рівномірно з [0, 1]. Кожен раз, коли намальовано значення, стек змінюється.

Якщо стек порожній або верхній елемент стека має більше значення, то новий елемент додається з новим значенням. (Куля повільніше, ніж остання куля або Tribble повільніше, ніж остання Tribble.)
В іншому випадку верхній елемент видаляється. (Кулі чи Трибл стикаються.)

(Ця формулювання не включає події кулі чи Tribble швидше, ніж попередня створена, але потім знищується до того, як вона потрапить на попередню, але така подія залишає стек однаковим, тому це не має ніякого наслідку.)

Я хочу довести, що будь-який даний елемент, з позитивною ймовірністю, врешті-решт видаляється зі стека. Ми можемо без втрати загальності припустити, що значення ніколи не малюється, оскільки ймовірність того, що це коли-небудь буде дорівнює 0. Нехай буде існуючим елементом, а його значенням. Нехай - кількість елементів вище , а їх значення в порядку, при цьому є значенням поточного верхнього елемента. Якщо наступні значення мають бути намальовані відповідно до інтервалу , інтервалу і так далі до , то $1$ $I_0$ $v_0$ $k$ $I_0$ $v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$ $v_k$ $k + 1$ $(v_k, 1)$ $(v_{k-1}, 1)$ $(v_0, 1)$ $I_0$ і всі елементи над ним буде видалено. Ймовірність цієї події становить , що є кінцевим добутком додатних чисел, тому є позитивним. $(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$

— Кодіолог
джерело