Розподіл відстані махаланобіса на рівні спостереження

Якщо у мене є багатоваріантний нормальний зразок iid $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$ , і визначити (яка є різновидом відстані махаланобіса [в квадраті] від вибіркової точки до вектора використовуючи матрицю для зважування), який розподіл (відстань махаланобіса до вибірки середнє значення використанням матриці коваріації вибірки )?

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$

a

$a$

A

$A$

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

Я дивлюся на папір, який стверджує, що це , але це, очевидно, неправильно: розподіл був би отриманий для використовуючи (невідомий) середній вектор сукупності і коваріаційна матриця. Коли підключаються аналоги зразків, потрібно отримати розподіл Hotelling або масштабований розподіл або щось подібне, але не . Я не міг знайти точного результату ні в Мюрхеді (2005) , ні в Андерсоні (2003) , ні в Мардії, Кенті та Біббі (1979, 2003) $\chi^2_p$ $\chi^2_p$ $d_i^2(\mu,\Sigma)$ $T^{\ 2}$ $F(\cdot)$ $\chi^2_p$ . Мабуть, ці хлопці не переймалися зовнішньою діагностикою, оскільки багатоваріантний нормальний розподіл є ідеальним і легко отримується щоразу, коли збирається багатоваріантні дані: - /.

Речі можуть бути складнішими за це. Результат розподілу Hotelling заснований на припущенні незалежності між векторною частиною та матричною частиною; така незалежність не має для і , але це вже не має для і . $T^{\ 2}$ $\bar X$ $S$ $X_i$ $S$

multivariate-analysis outliers

— СтасК
джерело

Визначаючи

, ви все ще розглядаєте

як випадкову величину чи тепер ви трактуєте її як фіксований вектор? Включення підписки говорить про останнє, але це здається трохи дивним.

d_{i}^{2}

$d_i^2$

X_{i}

$X_i$

— whuber

Лише невелика сторонна примітка, але зауважте, що

є допоміжною щодо

дорівнює фіксованій постійній (повинна бути

, чи подібне, я думаю) майже напевно.

X_{i} - \bar{X}

$X_i - \bar{X}$

μ

$\mu$

\sum_{i} d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$

n - p

$n-p$

— кардинал

@whuber - можливо, підкреслити, що він обчислюється за допомогою спостереження з вибірки, а не нового спостереження?

— jbowman

@whuber, приблизно за принципами сказаного jbowman - щоб вказати, що це статистика на рівні спостереження (на відміну від статистики рівня вибірки, як середнє значення вибірки).

— Стаск

Розподіл

- бета,

, але я все ще шукаю розподілу

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

n / (n - 1)^{2} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (p / 2, (n - p - 1) / 2)

$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$

d_{i}^{2} (μ, S)

$d^2_i(\mu, S)$ . Розподіли

's не є незалежними.

d_{i}^{2}

$d^2_i$

Перевірте моделювання суміші Гаусса, використовуючи відстань махаланобіса ( альтернативне посилання ). Див. Сторінку № 13, друга колонка. Автори також дали певні докази для отримання розподілу. Розподіл масштабується бета-версія. Будь ласка, дайте мені знати, якщо це не працює для вас. Інакше я міг би завтра перевірити будь-яку підказку в книзі SS Wilks.

— vinux
джерело

The answer given in the paper is:

\frac{n}{(n - 1)^{2}} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (\frac{p}{2}, \frac{n - p - 1}{2})

$\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

$df=p$

\frac{n (d^{2})}{(n - 1)^{2}} \sim B e t a (\frac{p}{2}, \frac{(n - p - 1)}{2}) .

$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$ However, if the observation

x_{i}

$x_i$ is independent of the parameter estimates, then the distribution is proportional to a Fisher's F-ratio distribution:

(\frac{n d^{2} (n - p)}{(p (n - 1) (n + 1)}) \sim F (p, n - p)

$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$

— Joe Sullivan
джерело

Welcome to the site, @JoeSullivan. I took the liberty of using

L A T E X

$\LaTeX$ to make your equations easier to read. Please make sure they still say what you want.

— gung - Reinstate Monica

can you give a reference for the F formula?

— eyaler

one related reference, section 3 in Hardin, Johanna, and David M. Rocke. 2005. “The Distribution of Robust Distances.” Journal of Computational and Graphical Statistics 14 (4): 928–46. doi:10.1198/106186005X77685.

— Josef