Як я можу (чисельно) наблизити значення для бета-розподілу з великою альфа-бета-версією

Чи існує чисельно стійкий спосіб обчислення значень бета-розподілу для великих цілих альфа, бета (наприклад, альфа, бета> 1000000)?

Насправді мені потрібен лише 99% довірчий інтервал навколо режиму, якщо це якось полегшує проблему.

Додайте : Вибачте, моє запитання було не так чітко прописано, як я вважав, що це було. Я хочу зробити це: у мене є машина, яка перевіряє продукти на конвеєрі. Частина цих продуктів машина відкидає. Тепер, якщо оператор машини змінить деякі параметри перевірки, я хочу показати йому / її прогнозовану швидкість відхилення та деяку підказку щодо надійності поточної оцінки.

Тому я подумав, що я ставлюсь до фактичної швидкості відхилення як до випадкової величини X і обчислюю розподіл ймовірностей для цієї випадкової величини на основі кількості відхилених об'єктів N та прийнятих об'єктів M. Якщо я припускаю рівномірний попередній розподіл для X, це бета-розподіл залежно від N та M. Я можу або відобразити цей розподіл безпосередньо користувачеві, або знайти інтервал [l, r], щоб фактична швидкість відхилення знаходилась у цьому інтервалі з p> = 0,99 (використовуючи термінологію shabbychef) і відобразити це інтервал. Для малих M, N (тобто відразу після зміни параметра) я можу обчислити розподіл безпосередньо та наблизити інтервал [l, r]. Але для великих M, N цей наївний підхід призводить до помилок підтоку, оскільки x ^ N * (1-x) ^ M малий має бути представлений як поплавок подвійної точності.

Я вважаю, що найкращим моїм ставкою є використання мого наївного бета-розподілу для малих M, N та переходу до нормального розподілу з однаковим середнім значенням та дисперсією, як тільки M, N перевищить деякий поріг. Чи має це сенс?

$\alpha/(\alpha+\beta)$$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2} (1+\alpha+\beta)}$$\alpha = 10^6, \beta = 10^8$$0.00026$$0.00006$$\alpha = \beta = 10^6$$0.0000001$.) Таким чином, це наближення відмінно підходить для будь-яких цілей, що включають інтервали 99%.

Зважаючи на правки цього питання, зауважте, що бета-інтеграли не обчислюються, фактично інтегруючи інтегранд: звичайно, ви отримаєте підтоки (хоча вони насправді не мають значення, оскільки вони не роблять помітного внеску в інтеграл) . Існує багато, багато способів обчислити інтеграл або наблизити його, як це зафіксовано в Johnson & Kotz (Поширення в статистиці). Інтернет-калькулятор можна знайти на веб- сайті http://www.danielsoper.com/statcalc/calc37.aspx . Насправді вам потрібна обернена частина цього інтеграла. Деякі методи обчислення зворотного документуються на сайті Mathematica за адресою http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseBetaRegularized/inverse beta regularized (.005, 1000000, 1000001)inverse beta regularized (.995, 1000000, 1000001)$\alpha=1000000, \beta=1000001$

Швидкий графічний експеримент дозволяє припустити, що бета-розподіл виглядає як звичайний розподіл, коли альфа і бета дуже великі. За допомогою googling "обмеження бета-версії нормального" я виявив http://nrich.maths.org/discus/messages/117730/143065.html?1200700623 , що дає "доказ" ручного розмахування.

Сторінка вікіпедії для розподілу бета-версії дає своє середнє значення, режим (v близький до середнього для великої альфа-бета-версії) та дисперсію, тому ви можете використовувати звичайний розподіл з тим самим середнім значенням та дисперсією, щоб отримати наближення. Чи буде це досить хорошим наближенням для ваших цілей, залежить від того, які цілі ви.

$[l,r]$$l$$r$$[l,r]$$\alpha, \beta$ $l$$r$ як різні числа, тому цей маршрут може бути досить хорошим.

$p$$p$$log(p/(1-p))$$min(\alpha,\beta) > 100$

Наприклад

f <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    lor <- log(p/(1-p))
    ks.test(lor, 'pnorm', mean(lor), sd(lor))$p.value
}
summary(replicate(50, f(10000, 100, 1000000)))

як правило, отримує подібний вихід

резюме (копія (50, f (10000, 100, 1000000))) Хв. 1-е Кв. Середнє середнє 3-е ква. Макс. 0,01205 0,10870 0,18680 0,24810 0,36170 0,68730

тобто типові р-значення становлять близько 0,2.

$\alpha=100, \beta=100000$

$p$

f2 <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    ks.test(p, 'pnorm', mean(p), sd(p))$p.value
}
summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))

виробляє щось подібне

summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))
     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
2.462e-05 3.156e-03 7.614e-03 1.780e-02 1.699e-02 2.280e-01 

з типовими р-значеннями близько 0,01

Функція R qqnormтакож дає корисну візуалізацію, створюючи дуже прямий вигляд ділянки для розподілу журнальних коефіцієнтів, що вказує на приблизну нормальність, розподіл бета-змінної розподільної дистрибуції створює відмінну криву, що вказує на ненормальність

$\alpha,\beta$