Сила леді дегустації експерименту з чаєм

У відомому експерименті Фішера спостережуваний є кількістю скоригованого отгаданнога чашки мають два виду чашки і . Зазвичай цікаво обчислити критичну область, щоб відкинути нульову гіпотезу (леді випадково здогадується), враховуючи розмір тесту . Це легко зробити за допомогою гіпергеометричного розподілу. Таким же чином я можу обчислити розмір тесту з урахуванням критичної області.$k$$A$$B$$\alpha$

Інше питання: як обчислити потужність тесту з урахуванням альтернативної гіпотези? Припустимо, наприклад, що дама вміє правильно вірити з вірогідністю на одній чашці ( ). Яка сила тесту, якщо прийняти загальну кількість чашок, рівну та загальну кількість чашок одного виду ? (На жаль) пані знає .$p=90\%$$P(\text{guess} A|\text{true} A)=P(\text{guess } B|\text{true } B)=0.9$$N=8$$n=N/2=4$$n$

Іншими словами: що таке розподіл (кількість правильних чашок за альтернативною гіпотезою), якщо дама знає, що існує чашок одного виду?$k=$$n$

За альтернативою дама не випадково здогадується, але "не випадково здогадується" охоплює нескінченність різних ситуацій. Вона завжди може здогадуватися ідеально, або вона може зробити лише трохи краще, ніж випадкові здогадки ... і в загальному випадку для роботи не існує навіть однозначної "шкали", яка не може бути випадковою (тому ми навіть не маємо сили крива, якщо ми не обмежимо види випадкових відповідей, які вона може дати).

Таким чином, для того, щоб обчислити потужність, ми повинні бути дуже конкретними щодо того, наскільки це є невипадковим (і наскільки не випадковим він є саме таким чином).

Ми можемо припустити, що вона отримує відчуття того, наскільки кожна чашка на смак, як молоко, було додано спочатку - індекс "молочність", який є випадковою змінною на $(-\infty,\infty)$ що має інше (вище) значення, коли молоко додається спочатку - наприклад, ми можемо припустити, що воно скаже нормальне або логотичне, із середнім $\mu_0$ і дисперсія $\sigma^2=1/\omega^2$ ($\omega^2$ відома як "точність"), коли молоко додається останнім і середнім $\mu_1$ і дисперсія $\sigma^2$ коли молоко додається першим (дійсно, може бути спрощена, але більш обмежена презумпція, наприклад, $\mu_1=-\mu_0=1$так що тепер усе є функцією однієї змінної, точності). Отже, для будь-яких заданих значень цих параметрів ми могли б обчислити ймовірність того, що вона отримає всі 8 склянок правильних (що чотири найменші значення "молочної первинності", які вона відчуває, пов'язані з чотирма чашками молока-секунди); якщо точний розрахунок був для нас занадто важким, ми могли б змоделювати його до будь-якої бажаної точності. [У випадку, коли не випадковість вважається функцією лише однієї змінної, у нас буде крива потужності - значення для потужності для кожного значення параметра.]

Це одна конкретна модель для того, як вона може бути "кращою, ніж випадкова", за допомогою якої ми можемо вказати параметри та отримати значення для потужності.

Ми, звичайно, можемо припустити багато інших форм невипадковості, ніж ця.

Розподіл правильної кількості здогадок за альтернативною гіпотезою випливає з нецентрального гіпергеометричного розподілу , який параметризується за співвідношенням шансів, тобто на скільки вище шанси, що дама здогадається "чай першим", коли в Фактично чай був дійсно доданий спочатку на відміну від того, коли насправді молоко було додано першим (або навпаки). Якщо коефіцієнт шансів дорівнює 1, то отримуємо центральний гіпергеометричний розподіл.

Подивимось, чи працює це. Я буду використовувати R для ілюстрації, використовуючи MCMCpackпакет, який має функцію dnoncenhypergeom()для обчислення щільності (не центрального) гіпергеометричного розподілу. Він має аргументи xдля правильного кількості припущень (обережно: це правильне кількість здогадок при одному з двох умов, наприклад, коли чай був дійсно доданий першим), аргументи n1, n2і m1для трьох з чотирьох країв, а також psiдля істинне співвідношення шансів Давайте обчислимо щільність, xрівну 0 до 4 (при всіх полях, рівних 4), коли значення справжнього шансу дорівнює 1:

install.packages("MCMCpack")
library(MCMCpack)
sapply(0:4, function(x) dnoncenhypergeom(x, n1=4, n2=4, m1=4, psi=1))

Це дає:

[1] 0.01428571 0.22857143 0.51428571 0.22857143 0.01428571

Отже, є 1,43% шансів, що дама зробить 8 правильних здогадок (тобто вона здогадається всі 4 чашки правильно, де чай був доданий спочатку, і, отже, вона також здогадається всі 4 чашки, куди було додано молоко) під нульовою гіпотезою. Це насправді кількість доказів, які Фішер вважав достатніми для відкидання нульової гіпотези.

Імовірності, зазначені у питанні, можуть бути використані для обчислення коефіцієнта шансів, а саме: $(.90/(1-.90)) / (.10/(1-.10)) = 81$ (тобто $\text{odds}(\text{guess}A|\text{true}A) / \text{odds}(\text{guess}A|\text{true}B)$). Які шанси зараз, що дама здогадається всі 8 чашок правильно (тобто вона вгадає всі 4 чашки правильно, де чай був доданий спочатку, а значить, і 4 чашки правильно, куди було додано молоко спочатку)?

dnoncenhypergeom(4, n1=4, n2=4, m1=4, psi=81)

Це дає:

[1] 0.8312221

Тож потужність становить приблизно 83%.