Чи існує формула для обчислення медіани?

10

Чи є еквівалент середньої формули:

m e a n = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

для медіани?

median definition

— Крейг
джерело

16

Якщо ви визначаєте як відсортовану версію вихідних даних , то медіана визначається як: $O_1, O_2, \ldots, O_N$ $X_1, X_2, \ldots, X_N$

М е г i а н ({О_{1}, О_{2}, \dots, О_{N}}) = {\begin{cases} О_{(N + 1) / 2} & i f N i с о г г \\ (О_{N / 2} + О_{N / 2 + 1}) / 2 & о т год е r ш i с е \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

Не впорядковуючи свої дані, ви можете використовувати визначення геометричної медіани для визначення медіани в одному вимірі:

М е г i а н ({Х_{1}, Х_{2}, \dots, Х_{N}}) = арг \underset{у}{хв} \sum_{i = 1}^{N} | Х_{i} - у |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

Зауважте, що це не обов'язково визначає унікальну медіану, коли є парна кількість балів; наприклад, будь-яке число оптимізує ціль за допомогою . $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— джослібер
джерело

3

Форма для навіть не є єдиною відповіддю - просто використовується умовна умова. Будь-яке значення між та можна обгрунтовано назвати "медіаною"

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— ймовірністьлогічного

1

@probabilityislogic Напевно. Я додав геометричне медіанне визначення, яке не обов'язково унікальне для навіть.

N

$N$

— josliber

10

Одним із альтернативних способів виразити середнє значення є оцінка "найменших квадратів":

\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - m)^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

Вибір як середній дає найменше значення суми помилок у квадраті. $m$

Тепер медіану можна виразити як оцінку "найменших абсолютних відхилень":

\sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - m |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

Вибір як медіани дає найменше значення суми абсолютних помилок. $m$

— ймовірністьіслогічна
джерело

0

Медіана - це значення, що відповідає напівквантилі, тобто половина значень вища, половина нижча (пробачте мене за ігнорування випадків із рівністю або коли множина рівна ...). Таким чином, якщо врахувати, що pdf набору даних відомий, то кумулятивний розподіл легко оцінити. Помітивши цю функцію, тоді $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

м е г i а н = П_{Х}^{- 1} (\frac{1}{2})

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

Візьмемо, наприклад, випадок кутів у цьому методі, який використовується в цій оглядовій роботі для вирівнювання гістограми. У нижній лівій панелі зображено pdf кутів у наборі природних зображень. - сукупний розподіл, а медіана - це значення відповідає значенню , тобто приблизно в цьому випадку. $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— meduz
джерело