Зв'язок між пуассоном та експоненціальним розподілом

Час очікування розподілу Пуассона - це експоненціальне розподіл з параметром лямбда. Але я цього не розумію. Пуассон, наприклад, моделює кількість прибутків за одиницю часу. Як це пов’язано з експоненціальним розподілом? Скажімо, ймовірність приходу k за одиницю часу дорівнює P (k) (моделюється пуассоном), а ймовірність k + 1 - P (k + 1), як моделює експоненціальний розподіл час очікування між ними?

Я буду використовувати наступні позначення, щоб максимально відповідати вікі (на випадок, якщо ви хочете повертатися вперед і назад між моєю відповіддю та визначенням вікі для пуассону та експоненціалі .)

$N_t$$t$

$X_t$$t$

За визначенням такі умови еквівалентні:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

$[t,t+x]$$t+x$$t$

За правилом доповнення, ми також маємо:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Використовуючи еквівалентність двох подій, які ми описали вище, ми можемо переписати вище як:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Але,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

тобто

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Підставляючи оригінальне рівняння, ми маємо:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Викладене вище - це PDF експоненціальної PDF.

$\lambda$

$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Будь-яка випадкова величина, яка має функцію щільності, як ця, кажуть, експоненціально розподілена.

Інші відповіді добре справляються з поясненням математики. Я думаю, що це допомагає розглянути фізичний приклад. Коли я замислююсь над процесом Пуассона, я завжди повертаюся до ідеї машин, які проходять по дорозі. Лямбда - це середня кількість автомобілів, які проїжджають за одиницю часу, скажімо, 60 / годину (лямбда = 60). Однак ми знаємо, що фактична кількість буде змінюватися - на кілька днів більше, на кілька днів менше. Розподіл Пуассона дозволяє моделювати цю мінливість.

Зараз в середньому 60 машин на годину прирівнюється до середнього 1 автомобіля, що проходить кожну хвилину. Знову ж таки, ми знаємо, що між часом прибуття може змінитися кількість: іноді більше 1 хвилини; в інші рази менше. Експоненційний розподіл дозволяє моделювати цю мінливість.

Все, що сказано, машини, що проїжджають повз дороги, не завжди будуть слідувати процесу Пуассона. Наприклад, якщо за кутом є сигнал руху, приїзди збиратимуться замість постійних. На відкритій трасі повільний трактор-причіп може затримувати довгу лінію автомобілів, що знову спричиняє купірування. У цих випадках розподіл Пуассона може все-таки нормально працювати протягом більш тривалих періодів часу, але експоненція погано вийде з моделювання часу прибуття.

Зауважте також, що існує велика мінливість, залежно від часу доби: більш зайняте під час поїздок; набагато повільніше о 3 ранку. Переконайтесь, що ваша лямбда відображає конкретний часовий період, який ви розглядаєте.

Розподіл Пуассона зазвичай походить від біноміального розподілу (обидва дискретні). Це ви знайдете у Вікі.

Однак розподіл Пуассона (дискретний) також може бути отриманий з Експоненціального розподілу (безперервного).

Я додав доказ у Wiki (посилання нижче):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution