Чи існує інша інтерпретація для розподілу Gamma з не цілим параметром форми?

Добре відомо, що випадкова величина - це гамма, розподілена з цілим параметром форми $k$ еквівалентна сумі квадратів $k$ нормально розподілені випадкові величини.

Але що я можу сказати про гамма-розподілену випадкову змінну з не цілим числом $k$ ? Чи існує взагалі інша інтерпретація, крім дистрибуції Гамми?

probability gamma-distribution

— stollenm
джерело

Гамма з параметром форми

k / 2

$k/2$ - сума квадратів

k

$k$ нормально розподілені випадкові величини. Гамма з параметром форми

k

$k$ - це сума

k

$k$ iid експоненціальних розподілів.

— Грінпаркер

Ще одна інтерпретація гами з цілим числом

k

$k$ : це час очікування до початку

k

$k$ го надходження в одновимірний процес Пуассона з інтенсивністю

1 / θ

$1/\theta$ .

— Стефан Коласа

Якщо $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ і $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$ незалежні тоді

X + Y \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$ Зокрема, якщо

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ , вона розподіляється з тим же розподілом, що і

X_{1} + \dots + X_{n} \sim G (α, 1) X_{i} \overset{iid}{\sim} G (α / n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$ для будь-якого

n \in N

$n\in\mathbb N$ . (Ця властивість називається нескінченною подільністю .) Це означає, що, якщо

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ коли

α

$\alpha$ не ціле число,

X

$X$ має таке ж розподіл, як і

Y + Z

$Y+Z$ з

Z

$Z$ незалежний від

Y

$Y$ і

Y \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z \sim G (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$ Це також означає, що цілі фігури мають значення

α

$\alpha$ не мають особливого значення для Гамми.

І навпаки, якщо $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ з $\alpha<1$ , він має такий самий розподіл, як і $YU^{1/\alpha}$ коли $Y$ є незалежним від $U\sim{\cal U}(0,1)$ і

Y \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$ А значить, і розподіл

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$ інваріантна в

X \sim (X^{'} + ξ) U^{1 / α} X, X^{'} \sim G (α, 1) U \sim U (0, 1) ξ \sim E (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Сіань
джерело