Динамічний вигляд систем теореми центральної межі?

(Спочатку розміщено на MSE.)

Я бачив, як багато евристичних дискусій класичної теореми про центральну межу говорять про нормальний розподіл (або будь-який із стабільних розподілів) як про «атрактор» у просторі ймовірностей щільності. Наприклад, розгляньте ці пропозиції у верхній частині звернення Вікіпедії :

У більш загальному використанні центральною граничною теоремою є будь-яка із наборів теорем слабкої конвергенції в теорії ймовірностей. Всі вони виражають той факт, що сума безлічі незалежних і однаково розподілених (iid) випадкових змінних або, як альтернатива, випадкових змінних із специфічними типами залежності, як правило, розподіляється відповідно до одного з невеликого набору розподілів атракторів . Коли дисперсія змінних iid є кінцевою, розподіл атрактора є нормальним розподілом.

Ця мова динамічних систем є дуже сугестивною. У своєму другому томі Феллер також говорить про "привабливість" у своєму зверненні до CLT (цікаво, чи це джерело мови), а Юваль Флімус у цій записці навіть говорить про "басейні привабливості". (Я не думаю, що він насправді означає "точну форму басейну притягання можна вивести заздалегідь", а скоріше "точну форму атрактора заздалегідь можна вивести"; все-таки мова є.) Моє питання: чи можна це динамічні аналогії мають бути точними?Я не знаю книги, в якій вони є, хоча багато книг підкреслюють, що нормальний розподіл є особливим для його стабільності в згортанні (як і для його стабільності під час перетворення Фур'є). Це в основному говорить про те, що нормальність важлива, тому що це фіксована точка. CLT йде далі, кажучи нам, що це не просто фіксована точка, а атрактор.

Щоб зробити цю геометричну картину точною, я уявляю, що фазовий простір є відповідним простором нескінченномірних функцій (простір щільності ймовірності) та оператором еволюції, що має повторюватися згортка з початковою умовою. Але я не маю жодних відчуттів щодо технічних можливостей, пов'язаних з тим, щоб зробити цю картину роботою, чи варто її дотримуватися.

Я б здогадався, що оскільки я не можу знайти лікування, яке чітко дотримується цього підходу, у моєму відчутті повинно бути щось не так, що це можна зробити або що було б цікаво. Якщо це так, я хотів би почути, чому.

EDIT : На всьому Math Stack Exchange та MathOverflow є три подібних питання, які можуть зацікавити читачів:

• Гауссові розподіли як фіксовані точки в деякому просторі розподілу (MO)
• Центральна гранична теорема за допомогою максимальної ентропії (МО)
• Чи є доказ теореми про центральну межу через якусь теорему з фіксованою точкою? (MSE)

Після того, як я розкопав літературу, підбадьорений відповіддю К'єтіла, я знайшов декілька посилань, які сприймають серйозно підхід геометричних / динамічних систем до CLT, окрім книги Ю. Синая. Я публікую те, що знайшов для інших, хто може зацікавити, але сподіваюся все-таки почути від експерта про цінність цієї точки зору.

Найбільш вагомий вплив, здається, прийшов із творчості Чарльза Штейна. Але найбільш прямою відповіддю на моє запитання здається Хамедані та Вальтер, які поставили метрику на простір функцій розподілу і показали, що згортка породжує стиснення, що дає нормальний розподіл як унікальну фіксовану точку.

• М. Аншелевич, Лінеаризація центрального граничного оператора в теорії вільної ймовірності , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein та Q. Shao, Нормальне наближення методом Штейна , Спрингер, 2011.
• Дж. А. Голдштейн, теоретичні докази семигрупової теоретичної межі теореми та інші теореми аналізу , Semigroup Forum 12 (1976), вип. 3, 189–206.
• Г. Г. Хамедані та Г. Г. Вальтер, теорема з фіксованою точкою та її застосування до центральної граничної теореми , арк. Математика. (Базель) 43 (1984), вип. 3, 258–264.
• С. Свамінафан, Теоретичні докази теорії з фіксованою точкою центральної граничної теореми в «Теорії та додатках з фіксованою точкою» (Марсель, 1989), Pitman Res. Математика заміток. Сер., Вип. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, с. 391–396. Цитується в Карл Стромберг, Імовірність для аналітиків, стор 114 .

ДОДАТИ 19 жовтня 2018 року.

Іншим джерелом для цієї точки зору є ймовірність Олівера Найла та стохастичні процеси з додатками , с. 11 (наголос додано):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$. Це працює і в інших ситуаціях. Наприклад, для випадкових змінних, що оцінюються по колу, рівномірний розподіл максимізує ентропію. Тому не дивно, що для випадкових величин, що оцінюються по колу, існує центральна гранична теорема з рівномірним розподілом як граничним розподілом.

У тексті "Теорії ймовірностей вступний курс" Y Sinai (Спрінгер) обговорюється CLT таким чином.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

Ідея (з пам’яті ...) що

$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$