Чому F-тест настільки чутливий для припущення про нормальність?

Чому F -тест різниці дисперсій настільки чутливий до припущення про нормальний розподіл навіть для великих $N$ ?

Я спробував здійснити пошук в Інтернеті та відвідав бібліотеку, але жодна з них не дала хороших відповідей. Там сказано, що тест дуже чутливий до порушення припущення про нормальний розподіл, але я не розумію, чому. Хтось має гарну відповідь на це?

Я припускаю, що ви маєте на увазі тест F на співвідношення дисперсій при тестуванні пари варіацій вибірки на рівність (адже це найпростіший, досить чутливий до нормальності; F-тест на ANOVA менш чутливий)

Якщо ваші зразки взяті з звичайних розподілів, дисперсія вибірки має масштабований розподіл квадратних чі

Уявіть, що замість даних, отриманих із звичайних дистрибутивів, у вас був розподіл, який був більш важким, ніж звичайний. Тоді ви отримаєте занадто багато великих дисперсій відносно розподіленого чи-квадратного розподілу, і ймовірність того, що вибіркова дисперсія потрапить у крайній правий хвіст, дуже чутливо реагує на хвости розподілу, з яких отримані дані =. (Буде також занадто багато невеликих дисперсій, але ефект трохи менш виражений)

Тепер, якщо обидва зразки витягнуті з цього більш важкого хвостового розподілу, більший хвіст на чисельнику призведе до перевищення великих значень F, а більший хвіст на знаменнику створить надлишок малих значень F (і навпаки для лівого хвоста)

Обидва ці ефекти, як правило, призводять до відторгнення у двосхилому тесті, хоча обидва зразки мають однакову дисперсію . Це означає, що коли справжній розподіл є більш важким, ніж звичайний, фактичний рівень значущості, як правило, вище, ніж ми хочемо.

І навпаки, малювання зразка з більш легкої хвостової розподілу призводить до розподілу вибіркових дисперсій, які мають занадто короткий хвіст - значення дисперсії, як правило, більш "середні", ніж ви отримуєте з даних звичайних розподілів. Знову-таки, удар сильніший у дальній верхній хвіст, ніж нижній хвіст.

Тепер, якщо обидва зразки взяті з цього більш легкого хвоста, це призводить до перевищення значень F поблизу медіани і занадто мало в обох хвостах (фактичні рівні значущості будуть нижчими від бажаних).

Ці ефекти, схоже, не обов'язково значно зменшуються при збільшенні розміру вибірки; у деяких випадках, здається, стає гірше.

Для часткової ілюстрації, ось 10000 вибіркових дисперсій (для $n=10$ ) для нормальних, $t_5$ та рівномірних розподілів, що мають масштаб, щоб мати таке ж значення, як $\chi^2_9$ :

Далекий хвіст трохи важко побачити, оскільки він порівняно невеликий порівняно з піком (а для $t_5$ спостереження в хвості простягаються справедливим шляхом повз те, де ми намітили), але ми можемо побачити щось, що впливає на розподіл на дисперсії. Це, мабуть, навіть більш повчально перетворити їх на обернення c-квадрата cdf,

який у звичайному випадку виглядає рівномірним (як слід), у t-випадку має великий пік у верхньому хвості (і менший пік у нижньому хвості), а в рівномірному випадку - більше схожий на пагорб, але із широким пік близько 0,6 до 0,8, і крайності мають набагато меншу ймовірність, ніж повинні, якби ми відбирали вибірку із звичайних розподілів.

Це, в свою чергу, впливає на розподіл співвідношення дисперсій, які я описав раніше. Знову ж таки, щоб покращити нашу здатність бачити вплив на хвости (що може бути важко помітити), я перетворив обернену cdf (в даному випадку для $F_{9,9}$

$t_5$

Для повного дослідження було б багато інших випадків, але це, принаймні, дає відчуття виду та спрямованості ефекту, а також того, як воно виникає.

Як Glen_b яскраво проілюстрував у своїх симуляціях, F-тест на співвідношення дисперсій чутливий до хвостів розподілу. Причиною цього є те, що дисперсія вибіркової дисперсії залежить від параметра куртозу, і тому куртоз основного розподілу сильно впливає на розподіл відношення дисперсій вибірки.

$S_N^2$$S_n^2$$n<N$$^\dagger$

$\kappa$

У окремому випадку мекокуртичного розподілу (наприклад, нормального розподілу) у вас є $\kappa=3$$DF_n = n-1$$DF_C = N-n$

$\hat{\kappa}$

$^\dagger$$N-1$$N$