Пов'язаний з функцією генерування моменту

Це запитання виникає з того, що тут задають питання про функції, що генерують момент (MGF).

Припустимо, $X$ - обмежена нульова середня випадкова величина, що приймає значення у $[-\sigma, \sigma]$ і нехай є її MGF. З прив’язки, що використовується у доказі нерівності Геффдінга , ми маємо, що де права сторона розпізнається як MGF нульової середньої нормальної випадкової величини зі стандартним відхиленням . Тепер стандартне відхилення може бути не більше , при цьому максимальне значення виникає, коли - дискретна випадкова величина, така що $G(t) = E[e^{tX}]$

Г (т) = Е [е^{т Х}] \leq е^{σ^{2} т^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$

σ

$\sigma$

X

$X$

σ

$\sigma$

X

$X$

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Таким чином, згадане обмеження можна вважати таким, що говорить про те, що MGF нульової середньої обмеженої випадкової величини

X

$X$ обмежена вище MGF нульової середньої нормальної випадкової величини, стандартне відхилення якої дорівнює максимально можливому стандартному відхиленню, якеможе

X

$X$ мати.

Моє запитання: чи це добре відомий результат незалежного інтересу, який використовується в інших місцях, ніж у доказі нерівності Гоффдінга, і якщо так, то чи відомо також, що вони поширюються на випадкові змінні з ненульовими засобами?

Результат , який підказки це питання дає асиметричний діапазон $[a,b]$ для $X$ з $a < 0 < b$ але наполягає на $E[X] = 0$ . Кордон

Г (т) \leq е^{т^{2} (б - а)^{2} / 8} = е^{т^{2} σ_{м а х}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$ , де

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$ - максимальне стандартне відхилення, можливе для випадкової величини зі значеннями, обмеженими

[a, b]

$[a,b]$ , але цей максимум не досягається нульовими середніми випадковими змінними, якщо

b = - a

$b = -a$ .

probability probability-inequalities mgf

— Діліп Сарват
джерело

Випадкові змінні, що задовольняють межі на mgf, як та, яку ви цитуєте, називаються субгаусськими випадковими змінними. Вони відіграють центральну роль, наприклад, в теорії неасимптотичної випадкової матриці та деяких пов'язаних з ними результатів стисненого зондування. Дивіться, наприклад, посилання у відповіді тут . (Це, очевидно, не відповідає вашому конкретному питанню; але це має споріднений характер.)

— кардинал

Я не можу відповісти на першу частину вашого питання, але що стосується поширення його на випадкові змінні з ненульовими засобами ...

$Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

$\sigma_\text{max}$

— джебмен
джерело