Допоможіть мені зрозуміти кількісну (зворотну CDF) функцію

Я читаю про квантильну функцію, але мені це не зрозуміло. Чи можете ви надати більш зрозуміле пояснення, ніж подане нижче?

Оскільки cdf $F$ є монотонно зростаючою функцією, він має зворотну; позначимо це через $F^{−1}$ . Якщо $F$ - cdf з $X$ , то $F^{−1}(\alpha)$ - значення $x_\alpha$ таке, що $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ ; це називається $\alpha$ квантиль $F$ . Значення $F^{−1}(0.5)$ є медіаною розподілу з половиною ймовірнісної маси зліва та половиною праворуч. Значення $F^{−1}(0.25)$ і $F^{−1}(0.75)$ - нижній і верхній квартілі.

— Inder Gill
джерело

Ви повинні навчитися використовувати розмітку математики, дивіться мої зміни!

— kjetil b halvorsen

Це модель стислого пояснення на певному рівні і містить приклад вже. Незрозуміло, якого рівня пояснення ви шукаєте. Відповідь може бути в 10 разів довшою за цю залежність від того, що ви не знаєте. Наприклад, чи знаєте ви, що це PDF? чи знаєте ви, що означає "монотонно зростаюче"? чи знаєте ви, що таке обернена функція? Ми лише частково проходимо через перше речення. Ваше запитання еквівалентне твердженню, що ви цього не розумієте (все), і хоча у нас немає підстав сумніватися у вас, це зовсім не точне питання.

— Нік Кокс

Все це може здатися спочатку складним, але по суті йдеться про щось дуже просте.

Кумулятивною функцією розподілу позначаємо функцію, яка повертає ймовірності $X$ , менші або рівні деякого значення $x$ ,

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Ця функція приймає як вхід $x$ і повертає значення з інтервалу $[0, 1]$ (ймовірності) —let позначає їх як $p$ . Зворотною кумулятивної функції розподілу (або функції квантилі) говорить вам , що $x$ б $F(x)$ повертати деяке значення $p$ ,

F^{- 1} (p) = х .

$F^{-1}(p) = x.$

Це проілюстровано на діаграмі нижче, де використовується приклад звичайної функції кумулятивного розподілу (та її зворотного).

Приклад

Як простий приклад, ви можете взяти стандартний розподіл Gumbel . Його кумулятивна функція розподілу є

Ж (х) = е^{- е^{- х}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

і його можна легко перевернути: пригадування природної логарифмічної функції є зворотною експоненціальною функцією, тому миттєво очевидно, що квантильна функція для розподілу Гумбеля є

Ж^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Як бачимо, квантильна функція, відповідно до її альтернативної назви, «інвертує» поведінку функції кумулятивного розподілу.

Узагальнена функція оберненого розподілу

Не кожна функція має зворотну. Ось чому цитата, на яку ви посилаєтесь, говорить про "монотонно зростаючу функцію". Нагадаємо, що з визначення функції вона повинна призначити для кожного вхідного значення рівно один вихід. Функції сукупного розподілу для безперервних випадкових величин задовольняють цій властивості, оскільки вони монотонно зростають. Для дискретних випадкових величин функції кумулятивного розподілу не є безперервними та зростаючими, тому ми використовуємо узагальнені функції зворотного розподілу, які повинні бути не зменшуються. Більш формально узагальнена функція зворотного розподілу визначається як

Ж^{- 1} (p) = інф {х \in R : Ж (х) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

Визначення, перекладене на просту англійську мову, говорить про те, що для заданого значення ймовірності $p$ ми шукаємо деякий $x$ , який призводить до повернення значення $F(x)$ більшого або рівного, ніж $p$ , але оскільки може бути кілька значень $x$ які відповідають цьому умова (наприклад, $F(x) \ge 0$ справедливо для будь-якого $x$ ), тому ми беремо найменший $x$ з них.

Функції без обертів

Взагалі немає інверсів для функцій, які можуть повернути одне і те ж значення для різних входів, наприклад, функції густини (наприклад, стандартна функція нормальної щільності симетрична, тому вона повертає однакові значення для $-2$ і $2$ тощо). Нормальний розподіл є цікавим прикладом ще з однієї причини - це один із прикладів функцій кумулятивного розподілу, які не мають зворотної форми закритої форми . Не кожна функція кумулятивного розподілу повинна мати зворотну форму закритої форми ! Будемо сподіватися, що в таких випадках обертання можуть бути знайдені за допомогою числових методів.

Корпус-кейс

Квантильну функцію можна використовувати для випадкового генерування, як описано в Як працює метод зворотного перетворення?

— Тім
джерело

Ця відповідь спрацьовує до передостаннього абзацу. До того часу, як ви потрапили туди, ви стверджували, що кожен безперервний CDF має зворотний характер, але тоді, здається, ви запропонували нормальне розподіл як контрприклад для цього самого твердження. Це потенційно дуже заплутано.

— whuber

@whuber ви праві, додали одне речення, щоб зробити це більш зрозумілим.

— Тім

Тіме, і я додав ще одне слово, щоб зробити його ще зрозумілішим :)

— Амеба каже, що повернеться Моніка

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$ дала б найбільшу нижню межу, тобто фіксувала унікальну точку і тим самим визначала узагальнену обернену. Це має сенс?

— Олександр Цска

@AlexanderCska Так, в основному множинні значення F (x) більше, ніж u, тому ми беремо нижню межу, "найменше значення, яке відповідає цій умові".

— Тім

Тім відповів дуже ретельно. Хороша робота!

Я хотів би додати ще одне зауваження. Не кожна монотонно зростаюча функція має зворотну функцію. Насправді лише суворо монотонно зростаючі / зменшувальні функції мають зворотні функції.

Для монотонно зростаючих cdf, які не є суворо монотонно зростаючими, ми маємо квантильну функцію, яку також називають функцією зворотного кумулятивного розподілу. Більш детальну інформацію ви можете знайти тут .

$F^{-1}$

— Tingguang Li
джерело