Інтервал довіри навколо відношення двох пропорцій

У мене є дві пропорції (наприклад, частота кліків (CTR) на посилання в контрольній макеті та CTR на посилання в експериментальному макеті), і я хочу обчислити 95% довірчий інтервал навколо відношення цих пропорцій.

Як це зробити? Я знаю, що можу використовувати метод дельти для обчислення дисперсії цього співвідношення, але я не впевнений, що робити крім цього. Що я повинен використовувати як середню точку довірчого інтервалу (моє спостережуване співвідношення або очікуване співвідношення, яке відрізняється), і скільки стандартних відхилень навколо цього співвідношення слід взяти?

Чи варто взагалі використовувати дисперсію методу дельти? (Мені не дуже важлива дисперсія, просто інтервал довіри.) Чи варто використовувати теорему Філлера , використовуючи Case 1 (оскільки я виконую пропорції, я думаю, що я задовольняю нормальну вимогу розподілу)? Чи варто просто обчислити зразок завантажувальної програми?

confidence-interval

— рагетін
джерело

У вас є фундаментальна проблема: більшість пропорцій мають позитивний шанс бути нульовим, тому співвідношення (незалежних пропорцій) має позитивний шанс бути невизначеним. Це може спричинити серйозні труднощі для наближених методів (як, наприклад, дельта-метод) і дозволяє припустити, що нормальні наближення слід розглядати більш скептично і перевіряти більш суворо, ніж зазвичай.

— whuber

Джозеф Л. Флейс, Брюс Левін, Мюнгі Чо Пайк: Статистичні методи для ставок та пропорцій [1] обговорюють відносний ризик, який є коефіцієнтом двох ставок. У мене немає книги, тому я можу лише пройти тематику та зміст, але, можливо, у вашій бібліотеці є. [1]: onlinelibrary.wiley.com/book/10.1002/0471445428

— cbeleites підтримує Моніку

Безумовно, найкращим методом буде відсотковий завантажувач?

— Пітер Елліс

Стандартний спосіб зробити це в епідеміології (де співвідношення пропорцій зазвичай називають коефіцієнтом ризику ) - спочатку log-перетворити відношення, обчислити довірчий інтервал за шкалою журналу, використовуючи метод delta та припускаючи нормальний розподіл, потім перетворіть назад. Це краще працює в помірних розмірах вибірки, ніж використання методу дельти в нетрансформованому масштабі, хоча він все ще буде вести себе погано, якщо кількість подій в будь-якій групі дуже малий, і повністю виходить з ладу, якщо в жодній з груп немає подій.

Якщо в двох групах є та успіхи із загальної кількості та , то очевидною оцінкою співвідношення пропорцій є $x_1$ $x_2$ $n_1$ $n_2$

\hat{θ} = \frac{х_{1} / н_{1}}{х_{2} / н_{2}} .

$\hat\theta = \frac{x_1/n_1}{x_2/n_2}.$

Використовуючи метод delta та припускаючи, що дві групи є незалежними та успіхи розподілені біноміально, можна показати, що ім'я Якщо взяти квадратний корінь, це дає стандартну помилку . Якщо припустити, що звичайно розподіляється, 95% довірчий інтервал для є Показник цього дає 95% довірчий інтервал для відношення пропорцій як

Вар (журнал \hat{θ}) = 1 / х_{1} - 1 / н_{1} + 1 / х_{2} - 1 / н_{2} .

$\operatorname{Var}(\log \hat\theta) = 1/x_1 - 1/n_1 +1/x_2 - 1/n_2.$

SE (\log \hat{θ})

$\operatorname{SE}(\log \hat\theta)$

\log \hat{θ}

$\log \hat\theta$

\log θ

$\log \theta$

журнал \hat{θ} \pm 1,96 SE (журнал \hat{θ}) .

$\log \hat\theta \pm 1.96 \operatorname{SE}(\log \hat\theta).$

θ

$\theta$

\hat{θ} досвід [\pm 1,96 SE (журнал \hat{θ})] .

$\hat\theta \exp\left[ \pm1.96 \operatorname{SE}(\log\hat\theta)\right].$

— одна зупинка
джерело

Це чудово працює, якщо і є великими (кілька сотень і більше) і

n_{1}

$n_1$

n_{2}

$n_2$

n_{1} p_{1}

$n_1 p_1$

n_{2} p_{2}

$n_2 p_2$

10

$10$

x_{2} = 0

$x_2=0$

x_{i} = n_{i}

$x_i=n_i$

1 / 2

$1/2$

x_{i}

$x_i$

1

$1$

n_{i}

$n_i$

p_{i} n_{i}

$p_i n_i$

4

$4$

n_{i}

$n_i$

@whuber: "підхід, що нагадує корекцію безперервності" - це використання 1/2, зокрема, звичайного фокусу? (На відміну від деяких інших невеликих псевдокаундів.) Те, як ви це висловили, робить 1/2 звучання в чомусь принциповим =) - це так?

— raegtin

x_{i}

$x_i$

n_{i}

$n_i$

Чому в цьому випадку квадратний корінь дисперсії є стандартною помилкою, а не стандартним відхиленням?

— Мікко

@onestop Чи реалізовано це в будь-якому пакеті R?

— Богдан Василеску