Щоб максимум шансів правильно відгадати результат відгортання монети, чи слід завжди вибирати найбільш ймовірний результат?

Це не домашнє завдання. Мені цікаво зрозуміти, чи правильна моя логіка з цією простою статистикою.

Скажімо, у мене є двостороння монета, де ймовірність перевернути голову а ймовірність перевернути хвіст - . Припустимо, всі фліпи мають незалежні ймовірності. Скажімо, я хочу максимально збільшити свої шанси передбачити, чи буде монета головою чи хвостом на наступному фліпі. Якщо , я можу вгадати голови або хвости навмання, а ймовірність того, що я правильно, - .1 - P ( H ) P ( H ) = 0,5 $P(H)$$1-P(H)$$P(H) = 0.5$$0.5$

Тепер припустимо, що , якщо я хочу максимально збільшити свої шанси на здогад, чи слід завжди гадати хвости, де ймовірність дорівнює ?$P(H) = 0.2$$0.8$

Зробивши цей крок далі, якби у мене був тристоронній штамб, і ймовірність прокатки 1, 2 або, 3 була , , а Чи повинен я завжди здогадуватися 2, щоб збільшити свої шанси на здогадку правильно? Чи є інший підхід, який би дозволив мені здогадуватися точніше?P ( 2 ) = 0,5 P ( 3 ) = $P(1)=0.1$$P(2)=0.5$$P(3)=0.4$

Ти маєш рацію. Якщо , і ви використовуєте нульовий збиток (тобто вам потрібно вгадати фактичний результат на відміну від ймовірності чи чогось іншого, і, крім того, отримувати голови, коли ви здогадувались хвости, так само погано, як і отримуючи хвости, коли здогадувались головами), ти повинен щоразу вгадувати хвости.$P(H) = 0.2$

Люди часто помилково думають, що відповідь полягає в тому, щоб відгадати хвости на випадково відібраних 80% випробувань та головах на решту. Ця стратегія називається " відповідність вірогідності " і широко вивчається в процесі поведінкового прийняття рішень. Дивіться, наприклад,

Захід, РФ, і Станович, К.Е. (2003). Чи відповідність ймовірності розумна? Асоціації між імовірнісним вибором та пізнавальною здатністю. Пам'ять і пізнання, 31 , 243–251. doi: 10.3758 / BF03194383

Ви по суті задаєте дуже цікаве запитання: чи варто передбачити використання "MAP Bayesian" Maximum a posteriori оцінка або "Real Bayesian".

$P(H)=0.2$$20$$80$

Не важко довести, що тим самим можна мінімізувати передбачувану помилку (втрата 0-1). Доказ можна знайти на ~ стор. 53 Введення до статистичного навчання .

Є ще один спосіб зробити це під назвою "Реальний байєсівський" підхід. В основному ви не намагаєтесь "вибрати результат з найбільшою ймовірністю, але розглядаєте всі випадки ймовірнісно". Отже, якщо хтось попросить вас "передбачити наступні 100" перевернень, вам слід призупинити його, оскільки, коли ви дали 100 бінарних результатів, ймовірнісна інформація для кожного результату зникає. Натомість слід запитати, що ви хочете робити ПІСЛЯ знаючи результати.

Припустимо, у нього є якась функція втрати (не потрібно для втрати 0-1; наприклад, функція втрати може бути, якщо ви пропускаєте голову, вам потрібно заплатити $ 1, але якщо ви пропустите хвіст, вам потрібно заплатити 5 дол. США , тобто незбалансована втрата) за вашим прогнозом, тоді вам слід використовувати свої знання про розподіл результатів, щоб мінімізувати втрати протягом усього розподілу

, тобто, включіть свої знання про розподіл до втрат, а не "поетапно", отримуючи прогнози та виконайте наступні кроки.

$P(S_1)=0.1$$P(S_2)=P(S_3)=P(S_{100})=0.9/99=0.009090$$S_1$$90\%$

Завдяки незалежності ваше очікуване значення завжди максимальне, якщо ви здогадуєтесь на найбільш ймовірний випадок. Немає кращої стратегії, тому що кожен фліп / рулон не дає вам додаткової інформації про монету / матрицю.

Де б ви не здогадалися з менш вірогідним результатом, ваше очікування виграшу менше, ніж якщо б ви здогадалися про найбільш ймовірний випадок, тож вам краще просто вгадати найімовірніший випадок.

Якщо ви хотіли зробити так, щоб вам було потрібно змінити стратегію, коли ви перевертали, ви можете розглянути монету / матрицю там, де спочатку ви не знаєте шансів, і вам доведеться розібратися в них під час прокатки.