Чи нормальна сума великої кількості незалежних випадкових величин Коші?

За теоремою центрального ліміту функція густини ймовірності суми великих незалежних випадкових величин має тенденцію до нормальної. Тому чи можна сказати, що сума великої кількості незалежних випадкових змінних Коші також є нормальною?

random-variable central-limit-theorem cauchy

— урва шаббір
джерело

Які гіпотези версії теореми про центральну межу ви дізналися?

— Брайан Борчерс

Ні.

Ви пропускаєте одне з центральних припущень теореми про центральну межу:

... випадкові змінні з кінцевими дисперсіями ...

Розподіл Коші не має кінцевої дисперсії.

Розподіл Коші - приклад розподілу, який не визначає середніх, дисперсійних чи вищих моментів.

Фактично

Якщо є незалежними та однаково розподіленими випадковими змінними, кожна зі стандартним розподілом Коші, то середнє значення вибірки має однаковий стандартний розподіл Коші. $X_1, \ldots, X_n$ $\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Тож ситуація у вашому запитанні є досить чіткою, ви просто продовжуєте отримувати той же розподіл Коші.

Це поняття стабільного права розподілу?

Так. (Суворо) стабільний розподіл (або випадкова змінна) - це той, для якого будь-яка лінійна комбінація двох ідентичних копій розподіляється пропорційно оригінальному розподілу. Розподіл Коші дійсно суворо нерухомий. $a X_1 + b X_2$

(*) Цитати з вікіпедії.

— Метью Друрі
джерело

Ого. Мені слід підняти концепцію CLT. дякую багато за відповідь.

— urvah shabbir

Капуста - справді хороший приклад у цьому просторі. У хвостах є достатньо маси, щоб усереднення не тягнуло її до середнього, але й недостатньо, щоб люди, що випадають, спричиняли накопичення маси в хвостах. Його право на межі, де CLT провалюється.

— Метью Друрі

"Це прямо на межі, де CLT виходить з ладу." Не зовсім - а

t

$t$ розподіл з 2 ступенями свободи мав би

E (| X |)

$E(|X|)$ кінцевий, але

E (X^{2})

$E(X^2)$ нескінченна, тоді як Коші не має жодного. Для Коші закон великих чисел навіть не застосовується!

— Ендрю М

Ох, цікаво! Я гадаю, я справді скупився над якимось нюансом.

— Метью Друрі

Якщо я пам'ятаю правильно, насправді є відповідна гранична теорема для t2 та Коші. Якщо я правильно пригадую відповідний вибір стандартизації як функції

n

$n$ t2

\bar{X} - μ

$\bar{X}-\mu$ наближається до нормальності - дуже повільно - в той час як для Коші ми маємо, що вибіркові засоби - це той самий Коші, з якого ми почали.

— Glen_b -Встановіть Моніку