Чи нормальна сума великої кількості незалежних випадкових величин Коші?


9

За теоремою центрального ліміту функція густини ймовірності суми великих незалежних випадкових величин має тенденцію до нормальної. Тому чи можна сказати, що сума великої кількості незалежних випадкових змінних Коші також є нормальною?


4
Які гіпотези версії теореми про центральну межу ви дізналися?
Брайан Борчерс

Відповіді:


16

Ні.

Ви пропускаєте одне з центральних припущень теореми про центральну межу:

... випадкові змінні з кінцевими дисперсіями ...

Розподіл Коші не має кінцевої дисперсії.

Розподіл Коші - приклад розподілу, який не визначає середніх, дисперсійних чи вищих моментів.

Фактично

Якщо є незалежними та однаково розподіленими випадковими змінними, кожна зі стандартним розподілом Коші, то середнє значення вибірки має однаковий стандартний розподіл Коші.X1,,XnX1++Xnn

Тож ситуація у вашому запитанні є досить чіткою, ви просто продовжуєте отримувати той же розподіл Коші.

Це поняття стабільного права розподілу?

Так. (Суворо) стабільний розподіл (або випадкова змінна) - це той, для якого будь-яка лінійна комбінація двох ідентичних копій розподіляється пропорційно оригінальному розподілу. Розподіл Коші дійсно суворо нерухомий.aX1+bX2

(*) Цитати з вікіпедії.


Ого. Мені слід підняти концепцію CLT. дякую багато за відповідь.
urvah shabbir

Капуста - справді хороший приклад у цьому просторі. У хвостах є достатньо маси, щоб усереднення не тягнуло її до середнього, але й недостатньо, щоб люди, що випадають, спричиняли накопичення маси в хвостах. Його право на межі, де CLT провалюється.
Метью Друрі

4
"Це прямо на межі, де CLT виходить з ладу." Не зовсім - аt розподіл з 2 ступенями свободи мав би E(|X|) кінцевий, але E(X2)нескінченна, тоді як Коші не має жодного. Для Коші закон великих чисел навіть не застосовується!
Ендрю М

Ох, цікаво! Я гадаю, я справді скупився над якимось нюансом.
Метью Друрі

Якщо я пам'ятаю правильно, насправді є відповідна гранична теорема для t2 та Коші. Якщо я правильно пригадую відповідний вибір стандартизації як функціїn t2 X¯μнаближається до нормальності - дуже повільно - в той час як для Коші ми маємо, що вибіркові засоби - це той самий Коші, з якого ми почали.
Glen_b -Встановіть Моніку
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.