Як додати дві залежні випадкові величини?

Я знаю, я не можу використовувати згортку. У мене є дві випадкові величини A і B і вони залежні. Мені потрібна розподільна функція A + B

random-variable non-independent

— Месько
джерело

Якщо A і B залежать, то для розподілу A + B необхідний спільний розподіл A і B.

— vinux

Я не розумію вашого запитання. Що ви знаєте і чому не можете використовувати згортку?

— Сіань

Я знаю, що розподільна функція A і B. f A і B - дві незалежні безперервні випадкові величини, то я можу знайти розподіл Z = A + B, взявши згортку f (A) і g (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z − B) dA Але що я можу зробити, коли вони не є незалежними? Мені дуже шкода, якщо це дурне питання.

— Месько

Це не тупо запитання Меско, але те, що люди вказують, це те, що йому потрібно більше інформації. Відповідь залежить від того, наскільки

не можуть бути незалежними. Повний опис цього дає спільний розподіл

, про що запитує vinux. Сіань пробує трохи делікатніше, але дійсно шукає таку ж інформацію, щоб допомогти вам прогресувати.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Відповіді:

Як вказує vinux, потрібен спільний розподіл і , і з відповіді О.П. Меско "Я знаю розподільну функцію A і B" не очевидно, що він говорить, що знає спільний розподіл A і B: він може добре сказати, що він знає граничні розподіли A і B. Однак, якщо припустити, що Месько знає спільний розподіл, відповідь подано нижче. $A$ $B$

З інтегралу згортки в коментарі О.П. Меско (що, до речі, неправильно), можна зробити висновок, що Месько зацікавлений у спільно неперервних випадкових величинах і із спільною функцією густини ймовірностей . У цьому випадку $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Колиіє незалежними, коефіцієнти функціонування щільності суглоба у творі функцій граничної щільності:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ і ми отримуємо більш звичну формулу згортання незалежних випадкових величин. Аналогічний результат застосовується і для дискретних випадкових величин.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ $F_{A+B}(z)$

— Діліп Сарват
джерело

Це пов'язано з моїм коментарем та відповіддю на інше питання, що стосується спільних розповсюджень кілька днів тому.

— Сіань

Заздалегідь я не знаю, чи правильно те, що я говорю, але я застряг у тій же проблемі, і намагався вирішити її таким чином:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$

Це вольфрамове представлення суглоба: А

Обчислюючи інтеграл, я маю: B

Нанесено: C

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$

— Р.Лак
джерело

Питання не здавалося достатньо конкретним щодо спільного розповсюдження, щоб отримати відповідь. Як ви придумали один.?

— Майкл Р. Черник

+1 для правильного вирішення передбачуваного контрприкладу у відповіді @ cdlg та показує, що обчислення, якщо вони проведені правильно , дають правильну відповідь, а не помилкові результати призводять до відповіді cdlg. Я не можу повірити, що на цю відповідь було отримано два відгуки.

— Діліп Сарват