Як створити довільну матрицю коваріації

21

Наприклад, в R, MASS::mvrnorm()функція корисна для генерації даних для демонстрації різних речей у статистиці. Він бере обов'язковий Sigmaаргумент, який є симетричною матрицею, що визначає коваріаційну матрицю змінних. Як би я створив симетричну матрицю з довільними записами? $n\times n$

r random-generation covariance-matrix

— rsl
джерело

3

Я думаю, що це питання вигодило б відредагувати, щоб зосередитись на тому, як "я можу створити довільну коваріаційну матрицю" та менше на аспект кодування. Тут, безумовно, є актуальна статистика, про що свідчить відповідь.

— Срібна рибка

2

Пов'язане: Як ефективно генерувати випадкові позитивні-напівфінітні кореляційні матриці?

— амеба каже, що поверніть Моніку

22

Створіть матрицю $n\times n$ $A$ з довільними значеннями

а потім використовувати $\Sigma = A^T A$ в якості матриці коваріації.

Наприклад

n <- 4  
A <- matrix(runif(n^2)*2-1, ncol=n) 
Sigma <- t(A) %*% A

— Генрі
джерело

Точно так же, Sigma <- A + t(A).

— rsl

6

@MoazzemHossen: Ваша пропозиція створить симетричну матрицю, але вона не завжди може бути позитивною напівдекітністю (наприклад, ваша пропозиція може створити матрицю з негативними власними значеннями), і тому вона може не бути придатною як матриця коваріації

— Генрі

Так, я помітив, що R повертає помилку в тому випадку, якщо запропонований нами спосіб створив непридатну матрицю.

— rsl

4

Зауважте, що якщо ви віддаєте перевагу кореляційній матриці для кращої інтерпретаційності, існує функція ? Cov2cor , яку можна застосувати згодом.

— gung - Відновіть Моніку

1

@ B11b: Вам потрібна матриця коваріації, щоб вона була напіввизначеною. Це поставило б деякі обмеження на значення коваріації, не зовсім очевидні, коли

n > 2

$n \gt 2$

— Генрі

24

Мені подобається контролювати об’єкти, які я створюю, навіть коли вони можуть бути довільними.

Тоді розглянемо, що всі можливі матриць коваріації можна виразити у вигляді $n\times n$ $\Sigma$

Σ = P^{'} Diagonal (σ_{1}, σ_{2}, \dots, σ_{n}) P

$\Sigma= P^\prime\ \text{Diagonal}(\sigma_1,\sigma_2,\ldots, \sigma_n)\ P$

де - ортогональна матриця і $P$ . $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge \sigma_n \ge 0$

Геометрично це описує структуру коваріації з діапазоном основних компонентів розмірів . Ці компоненти вказують в напрямках рядків . Див. Малюнки, присвячені аналізу основного компонента, власних векторів та власних значень для прикладів з . Встановлення встановить величини коваріацій та їх відносні розміри, тим самим визначивши будь-яку бажану еліпсоїдальну форму. Ряди орієнтують осі фігури, як вам зручніше. $\sigma_i$ $P$ $n=3$ $\sigma_i$ $P$

Одна алгебраїчна та обчислювальна перевага цього підходу полягає в тому, що при , $\sigma_n \gt 0$ легко інвертується (що є звичайною операцією на коваріаційних матрицях): $\Sigma$

Σ^{- 1} = P^{'} Diagonal (1 / σ_{1}, 1 / σ_{2}, \dots, 1 / σ_{n}) P .

$\Sigma^{-1} = P^\prime\ \text{Diagonal}(1/\sigma_1, 1/\sigma_2, \ldots, 1/\sigma_n)\ P.$

$\sigma_i$ $n^2$ $n$

n <- 5
p <- qr.Q(qr(matrix(rnorm(n^2), n)))

$n$

$\Sigma$ $P$ $\sigma_i$ crossprodR $\sigma=(\sigma_1, \ldots, \sigma_5) = (5,4,3,2,1)$

Sigma <- crossprod(p, p*(5:1))

$\sigma$ $P^\prime$

svd(Sigma)

Зворотний Sigmaзвичайно отримується лише шляхом зміни множення на $\sigma$

Tau <- crossprod(p, p/(5:1))

zapsmall(Sigma %*% Tau) $n\times n$ $\sigma_i \ne 0$ $1/\sigma_i$ $\sigma_i$

— дзижчати
джерело

P

$P$

1

Можливо, варто згадати, що поодинокі значення svd(Sigma)будуть перепорядковані - це на хвилину збентежило мене.

— FrankD

1

Ви можете імітувати випадкові позитивні певні матриці з розподілу Wishart за допомогою функції "rWishart" з широко використовуваного пакету "stats".

n <- 4
rWishart(1,n,diag(n))

— Карлос Льоса
джерело

1

Існує спеціально для цього пакет, clusterGeneration (написаний серед інших Гаррі Джо, великим ім'ям у цій галузі).

Є дві основні функції:

genPositiveDefMat генерують коваріаційну матрицю, 4 різні методи
rcorrmatrix : генерувати кореляційну матрицю

Короткий приклад:

library(clusterGeneration)
#> Loading required package: MASS
genPositiveDefMat("unifcorrmat",dim=3)
#> $egvalues
#> [1] 15.408962  5.673916  1.228842
#> 
#> $Sigma
#>          [,1]     [,2]     [,3]
#> [1,] 6.714871 1.643449 6.530493
#> [2,] 1.643449 6.568033 2.312455
#> [3,] 6.530493 2.312455 9.028815
genPositiveDefMat("eigen",dim=3)
#> $egvalues
#> [1] 8.409136 4.076442 2.256715
#> 
#> $Sigma
#>            [,1]       [,2]      [,3]
#> [1,]  2.3217300 -0.1467812 0.5220522
#> [2,] -0.1467812  4.1126757 0.5049819
#> [3,]  0.5220522  0.5049819 8.3078880

^{Створено 2019-10-27 пакетом reprex (v0.3.0)}

Нарешті, зауважте, що альтернативний підхід - це спершу спробувати з нуля, а потім використовувати, Matrix::nearPD()щоб ваша матриця була позитивно визначеною.

— Матифу
джерело