Чи сума дискретної та безперервної випадкової величини безперервна чи змішана?

Якщо - дискретна, а - неперервна випадкова величина, то що можна сказати про розподіл ? Це суцільне чи змішане? $X$ $Y$ $X+Y$

Що з продуктом ? $XY$

self-study distributions random-variable

— user666
джерело

Відповіді:

Нехай приймає значення з дискретним розподілом , де є рахункове безліч, а приймає значення в з щільністю і CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Нехай . Маємо $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$ яку можна диференціювати для отримання функції щільності для

заданої

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Тепер нехай і припустимо . Тоді $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$ які знову можна диференціювати для отримання функції щільності.

Однак якщо , то , що показує, що в цьому випадку має атом при 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

— Йоріс Біркенс
джерело

Нехай - дискретна випадкова величина з функцією маси ймовірності , де - дискретний набір (можливо, незліченно нескінченний). Випадкова величина може розглядатися як безперервна випадкова величина з наступною функцією щільності ймовірності $X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

де - дельта-функція Дірака. $\delta$

$Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

— Родріго де Азеведо
джерело

Чому потік?

— Родріго де Азеведо

Так, мені також цікаво погіршення голосу

— Yair Daon

X

$X$

Y

$Y$

@whuber Я згоден з (b). Однак кажуть, що дискретний RV "можна думати як ...", тому я думаю, що це додає цікавого погляду.

— Яїр Даон

Ось чому я написав, що ваша відповідь вводить в оману. Оскільки питання стосується розмежування дискретних та безперервних розподілів - і це розрізнення є питанням математичного визначення, а не "смаку" - ваші зусилля збивати з них два, ймовірно, будуть менш корисними.

— whuber

$X$ $Y$

Редагувати: Я припускаю, що "безперервний" означає "мати PDF." Якщо безперервний замість цього означає атомарний, доказ подібний; просто замініть "нульовий набір Lebesgue" на "одиночний набір" у наступному.

$X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

$P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

— Майк Ернест
джерело