Інтуїція за рівнем небезпеки

16

Мене плутає рівняння, яке служить визначенням рівня небезпеки. Я розумію, що таке рівень небезпеки, але я просто не бачу, як рівняння виражає цю інтуїцію.

Якщо - випадкова величина, яка представляє момент часу смерті когось на часовому інтервалі . Тоді рівень небезпеки: $x$ $[0,T]$

h (x) = \frac{f (x)}{1 - F (x)}

$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$

Там , де не представляє собою ймовірність смерті до моменту часу , являє собою вірогідність не переживши аж до тимчасової точки , і - ймовірність смерті у точці . $F(x)$ $x\in[0,T]$
$1-F(x)$ $x\in[0,T]$
$f(x)$ $x$

Як поділ на коефіцієнт виживання пояснює інтуїцію ймовірності миттєвої смерті в наступному ? Чи не повинно бути просто , зробивши обчислення коефіцієнта небезпеки тривіальним? $f(x)$ $\Delta t$ $f(x)$

survival intuition hazard

— user246315
джерело

11

Нехай позначає час смерті (або час невдачі, якщо ви віддаєте перевагу менш хворобливому опису). Припустимо, що - неперервна випадкова величина, функція щільності є ненульовою лише у . Тепер зауважте, що має бути так, що відпадає до як оскільки якщо не відпадає, як зазначено, то $X$ $X$ $f(t)$ $(0,\infty)$ $f(t)$ $0$ $t \to \infty$ $f(t)$ не може утримувати. Таким чином, ваше уявлення про те, що- це ймовірність смерті в момент (насправді, цещо є (приблизно) ймовірністю смерті закороткийпроміжок ) довжина) призводить до неправдоподібних і неймовірних висновків, таких як $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ $f(T)$ $T$ $f(T)\Delta t$ $(T, T+\Delta t]$ $\Delta t$

Ви, швидше за все, помрете протягом наступного місяця, коли вам тридцять років, ніж коли вам дев'яносто вісім років.

всякий раз, коли такий, що . $f(t)$ $f(30) > f(98)$

Причина, чому (або ) є "неправильною" ймовірністю дивитися, полягає в тому, що значення цікавить лише тих, хто живий у віці (і все ще психічно Попередження достатньо, щоб регулярно читати stats.SE!) На що слід звернути увагу, це ймовірність того, що річний помер упродовж наступного місяця, тобто $f(T)$ $f(T)\Delta t$ $f(T)$ $T$ $T$

$\begin{aligned} P {(X \in (T, T + Δ t] ∣ X \geq T} & = \frac{P {(X \in (T, T + Δ t]) \cap (X \geq T)}}{P {X \geq T}} \\ definition of conditional probability \\ = \frac{P {X \in (T, T + Δ t]}}{P {X \geq T}} \\ = \frac{f (T) Δ t}{1 - F (T)} \\ because X is a continuous rv \end{aligned}$ $\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$

Вибираючи на два тижні, тиждень, день, годину, хвилину тощо, ми дійшли висновку, що (миттєвий) рівень небезпеки для річного віку є $\Delta t$ $T$

$h (T) = \frac{f (T)}{1 - F (T)}$ $h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$

в тому сенсі , що приблизна ймовірність смерті в наступному фемтосекундного з -річний старого $(\Delta t)$ $T$ $\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

Зауважимо, що на відміну від щільності інтегрується до , інтеграл $f(t)$ $1$ повинні розходитися. Це тому, що CDFпов'язаний зі ступенем небезпеки $\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

і оскільки, то має бути, що

F (t) = 1 - \exp (- \int_{0}^{t} h (τ) d τ)

$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$

lim_{t \to \infty} F (t) = 1

$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$

або вказано більше формально, інтеграл від швидкості небезпекиповиненрозходитися: немаєпотенціалудивергенції як попередні редагувати затребуване.

lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} h (τ) d τ = \infty,

$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$

Типовий рівень небезпеки - це зростаючі функції часу, але можливі постійні показники небезпеки (експоненціальні терміни життя). Обидва ці види небезпеки, очевидно, мають розбіжні інтеграли. Менш розповсюджений сценарій (для тих, хто вважає, що з віком все покращується, як це робить прекрасне вино) - це ступінь небезпеки, яка зменшується з часом, але досить повільно, що цілість розходиться.

— Діліп Сарват
джерело

"Нехай X позначає час смерті (або час невдачі, якщо ви віддаєте перевагу менш хворобливому опису". Час до одужання ще менше хворобливе.

— ryu576

10

Уявіть, що вас цікавить випадки (першого) шлюбу для чоловіків. Скажімо, на випадок випадків шлюбу у віці 20 років, скажіть, ви вибрали б вибірку людей, які не перебувають у шлюбі в такому віці, і побачите, чи одружуються вони протягом наступного року (до того, як їм виповниться 21 рік).

Ви можете отримати приблизну оцінку для

P (m a r r y b e f o r e 21 | n o t m a r r i e d a t 20)

$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$

\frac{N (m a r r i e d b e f o r e 21 a n d n o t m a r r i e d a t 20)}{N (n o t m a r r i e d a t 20)}

$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$

So basically this is just using the definition of conditional probability,

P (X | Y) = \frac{P (X, Y)}{P (Y)} .

$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$ Now imagine we make the age unit smaller and smaller, up to days for example. I.e. what is the incidence of marriage at age of 7300 days? Then you would do the same, but survey all individuals of 7300 days and look who gets married before the end of the day. If

T

$T$ is a random variable age at marriage, then we could write

P (T \leq 7301) | T \geq 7300) = \frac{P (T \in [7300, 7301))}{P (T \geq 7300)}

$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$ by the same logic as before.

The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at age $t$ , for a non-married individual. We can write this as

h (t) d t = P (T \in [t, t + d t) | T \geq t) = \frac{P (T \in [t, t + d t))}{P (T \geq t)}

$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$

— Theodor
джерело

5

$f(x)$ is not the probability of death, but the probability density; the expected number of times you die within the next unit of time if the probability density remained constant during that unit of time.

Notice there is a problem: your probability of dying when you already died before is rather problematic. So it makes more sense to compute the probability of dying conditional on having survived thus far. $1-F(t)$ it the probability of having survived until $t$ , so dividing the probabilty density by that probability, will get us the expected number of times we will die within the next unit of time conditional on not having died before. That is the hazard rate.

— Maarten Buis
джерело