Як розподіляється мінімум набору випадкових величин?

Якщо є незалежними однаково розподіленими випадковими змінними, що можна сказати про розподіл взагалі?$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Якщо cdf від $X_i$ позначається $F(x)$ , то cdf мінімуму задається $1-[1-F(x)]^n$ .

Якщо CDF з $X_i$ позначається $F(x)$ , то CDF мінімуму задається $1-[1-F(x)]^n$ .

Обгрунтування: наведені випадкові величини, то ймовірність слід , що принаймні один менше , ніж .$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

Ймовірність того, що принаймні один менший ніж , еквівалентна одному мінусу ймовірності того, що всі більше , тобто .$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

Якщо незалежно однаково розподілені, то ймовірність того, що всі більше є . Тому початкова ймовірність .$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

Приклад : скажіть , тоді інтуїтивно ймовірність повинна бути дорівнює 1 (оскільки мінімальне значення завжди буде менше 1, оскільки для всіх ). У цьому випадку тому ймовірність завжди дорівнює 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Роб Хайндман дав просту точну відповідь за фіксовану п. Якщо ви зацікавлені в асимптотичній поведінці для великих n, це розглядається в галузі теорії крайніх значень . Є невелика сім'я можливих обмежуючих розподілів; див., наприклад, перші глави цієї книги .

Я думаю, що відповідь 1- (1-F (x)) ^ n є правильною в особливих випадках. Особливі випадки - це умова, що pmf rv засноване на формулі для домену rv. Якщо вона відрізняється в різних частинах домену, згадана формула трохи відхиляється від реальних результатів моделювання.