Яка реальна відповідь на питання дня народження?

"Наскільки великим повинен бути клас, щоб зробити ймовірність знайти двох людей з тим самим днем народження принаймні 50%?"

У мене у фейсбуці є 360 друзів, і, як і слід було очікувати, розподіл їх днів народження зовсім не є рівномірним. У мене один день з цим є 9 друзів з тим самим днем народження. (9 місяців після великих свят і день Святого Валентина здаються великими, хахайте ..) Отже, враховуючи, що деякі дні є більш імовірними для дня народження, я припускаю, що число 23 є надмірним.

Чи була краща оцінка цієї проблеми?

probability birthday-paradox

— Адам
джерело

Вибірка з 360 осіб не є великою вибіркою для розподілу днів народження протягом 365 днів у році ... Ви, звичайно, не можете перевірити рівномірність такої невеликої вибірки.

— Сіань

У людини день народження, які шанси на те, що друга людина не поділяє той самий день народження? 364/365, які шанси на те, що третя людина не ділиться ні з днем народження? (364/365) * (363/365). Розширюйте це, поки не з’явиться ймовірність < 50%. Це означало б шанси на те, що ніхто не має того самого дня народження, а це, в свою чергу, означає, що шанси принаймні на два поділити день народження будуть > 50%.

— zzzzBov

Чи варто вважати, що у вас є випадкові друзі?

— Джеймс

@zzzzBov - ти не розумієш, що просить ОП. Це такий підхід, коли ми вважаємо, що кожен день народження є однаково вірогідним, кожен має шанс бути вашим. ОП просить за те , що оцінка буде , коли говорять , що народжується на 1 січня не частіше, народившись на 15 лютого

\frac{1}{365}

$\frac{1}{365}$

— probabilityislogic

На щастя, хтось опублікував справжні дані про день народження з невеликим обговоренням пов’язаного питання (є формою розподілу). Ми можемо скористатись цим і переупорядкувати, щоб показати, що відповідь на ваше запитання, очевидно, 23 - те саме, що теоретична відповідь .

> x <- read.table("bdata.txt", header=T)
> birthday <- data.frame(date=as.factor(x$date), count=x$count)
> summary(birthday) 
      date         count     
 101    :  1   Min.   : 325  
 102    :  1   1st Qu.:1266  
 103    :  1   Median :1310  
 104    :  1   Mean   :1314  
 105    :  1   3rd Qu.:1362  
 106    :  1   Max.   :1559  
 (Other):360                 
> results <- rep(0,50)
> reps <-2000 # big number needed as there is some instability otherwise
> for (i in 1:50)
+ {
+ count <- 0
+ for (j in 1:reps)
+ {
+ samp <- sample(birthday$date, i, replace=T, prob=birthday$count)
+ count <- count + 1*(max(table(samp))>1)
+ }
+ results[i] <- count/reps
+ }
> results
 [1] 0.0000 0.0045 0.0095 0.0220 0.0210 0.0395 0.0570 0.0835 0.0890 0.1165
[11] 0.1480 0.1770 0.1955 0.2265 0.2490 0.2735 0.3105 0.3350 0.3910 0.4165
[21] 0.4690 0.4560 0.5210 0.5310 0.5745 0.5975 0.6240 0.6430 0.6950 0.7015
[31] 0.7285 0.7510 0.7690 0.8025 0.8225 0.8280 0.8525 0.8645 0.8685 0.8830
[41] 0.8965 0.9020 0.9240 0.9435 0.9350 0.9465 0.9545 0.9655 0.9600 0.9665

— Пітер Елліс
джерело

Дійсно, через опуклість Шура можна показати , що при будь-якому нерівномірному розподілі днів народження ймовірність відповідності принаймні така ж велика, як у єдиному випадку. Це вправа 13.7 Дж. Майкла Стіла, майстер-клас Коші-Шварца: Вступ до мистецтва математичних нерівностей , Cambridge University Press, 2004, стор. 206 .

— кардинал

@ Xi'an: Дійсно. Тепер, якби я знав когось, хто робив огляди книг для якісного журналу статистики для читачів, я запропонував би їм переглянути його, щоб дати йому більшу видимість статистикам ... але де знайти таку людину ...

— кардинал

(Для тих, хто, можливо, цікавиться моїм попереднім коментарем, він посилається на те, що @ Xi'an - це новопризначений рецензент книги " Шанс" .)

— кардинал

@ Сіань, перевірити це і подивитися , що ви думаєте: table(replicate(10^5, max(tabulate(sample(1:365,360,rep=TRUE))))).

— whuber

Напевно, не зрозуміло, за винятком R cognoscenti, що код у попередніх коментарях @ Xi'an і я сам імітує ситуацію з ОП. За його допомогою встановлено, що шанс 9 або більше людей, які діляться днем народження, із 360 випадковим чином обраних із рівномірно розподіленого населення, становить лише близько 40 із 100 000. Найбільш вірогідне значення для максимальної кількості народжених днів, що поділяються, - 5.

— whuber