Що можна зробити висновок про дані, коли середнє арифметичне дуже близьке до середнього геометричного?

Чи є щось значне щодо середнього геометричного та середнього арифметичного, що падають дуже близько один до одного, скажімо, ~ 0,1%? Які підказки можна зробити щодо такого набору даних?

Я працював над аналізом набору даних, і зауважую, що за іронією долі значення дуже і дуже близькі. Не точно, але близько. Крім того, швидка перевірка правильності середньоарифметичної середньогеометричної нерівності, а також огляд збору даних виявляють, що в цілісності мого набору даних немає нічого кривдного з точки зору того, як я придумав значення.

descriptive-statistics mean geometric-mean

— користувач12289
джерело

Невелика примітка: спочатку перевірте, чи всі ваші дані є позитивними; парне число негативних значень може залишити вас позитивним продуктом, і деякі пакети можуть не позначити потенційну проблему (нерівність AM-GM покладається на те, що значення є усі позитивними). Див. Наприклад (в R):x=c(-5,-5,1,2,3,10); prod(x)^(1/length(x))

$\:\quad$ [1] 3.383363 (тоді як середнє арифметичне значення 1)

— Glen_b -Встановити Моніку

Для уточнення точки @ Glen_b набір даних

{- x, 0, x}

$\{-x,0,x\}$ завжди має середнє арифметичне та геометричне середнє значення, а саме нуль. Однак ми можемо поширити три значення настільки далеко, наскільки хочемо.

— хардмат

І арифметичні, і геометричні засоби мають однакову узагальнену формулу , при цьому

дає першому, а

- другому. Потім стає інтуїтивно зрозумілим, що вони стають все ближче і ближче один до одного, коли значення даних

все більше і більше всі рівні, наближаючись до постійної.

p = 1

$p=1$

p \to 0

$p \rightarrow 0$

x

$x$

— ttnphns

Відповіді:

Середнє арифметичне пов'язане з геометричним середнім через нерівність середнього арифметичного-середнього геометричного (AMGM), яка говорить про те, що:

\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}},

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n} n \geq \sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n},$

де досягається рівність iff . Тому, ймовірно, всі ваші точки даних дуже близькі один до одного. $x_1=x_2=\cdots=x_n$

— Алекс Р.
джерело

Це правильно. Як правило, чим менша дисперсія значень, тим ближче два кошти.

— Майкл М

Відхилення мали б бути невеликими ЗА ПОРІВНЕННЯМ із розмірами спостережень. Таким чином, коефіцієнт варіації

повинен бути малим.

σ / μ

$\sigma/\mu$

$\qquad$

— Майкл Харді

Чи означає AMGM щось? Якщо так, то непогано було б прописати це.

— Річард Харді

@RichardHardy: AMGM означає «середнє арифметичне - середнє геометричне»

@ user1108, дякую, власне, я отримав це після прочитання інших публікацій. Я просто думаю, що це могло бути прописано у відповіді (не лише в коментарях).

— Річард Харді

Розвиваючи відповідь @Alex R, один із способів побачити нерівність AMGM - це ефект нерівності Дженсена. За нерівністю Дженсена : Тоді візьмемо експоненцію обох сторін:

\log (\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}) \geq \frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i}

$\log\left( \frac{1}{n} \sum_i x_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_i \log x_i$

\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i} \geq \exp (\frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i})

$\frac{1}{n} \sum_i x_i \geq \exp\left( \frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Права частина представляє собою середнє геометричне , так як $\left(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)^{1/n} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Коли нерівність AMGM дорівнює майже рівності? Коли ефект нерівності Дженсена невеликий. Тут впливає ефект нерівності Дженсена - це увігнутість, викривлення логарифму. Якщо ваші дані поширюються на область, де логарифм має кривизну, ефект буде великим. Якщо ваші дані поширюються в регіоні, де логарифм є в основному афінним, ефект буде невеликим.

Наприклад, якщо дані мають незначні зміни, збиті разом у досить невеликому сусідстві, то логарифм буде схожий на афінну функцію в цьому регіоні (тема обчислення полягає в тому, що якщо ви збільшуєте масштаб плавної, безперервної функції, це буде виглядати як лінія). Якщо дані є досить близькими між собою, середнє арифметичне даних буде близьким до середнього геометричного.

— Меттью Ганн
джерело

Давайте дослідимо діапазон враховуючи, що їх середнє арифметичне (AM) є невеликим кратним їх геометричного середнього (GM) (при ). У питанні але нам невідомо $x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n$ $1+\delta$ $\delta \ge 0$ $\delta\approx 0.001$ $n$ .

Since the ratio of these means does not change when the units of measurement are changed, pick a unit for which the GM is $1$ . Thus, we seek to maximize $x_n$ subject to the constraint that $x_1+x_2+\cdots+x_n = n(1+\delta)$ and $x_1\cdot x_2\cdots x_n = 1$ .

$x_1=x_2=\cdots=x_{n-1}=x$ $x_n=z \ge x$

n (1 + δ) = x_{1} + \dots + x_{n} = (n - 1) x + z

$n(1+\delta) = x_1 + \cdots + x_n = (n-1)x + z$

1 = x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n} = x^{n - 1} z .

$1 = x_1\cdot x_2 \cdots x_n = x^{n-1}z.$

The solution $x$ is a root between $0$ and $1$ of

(1 - n) x^{n} + n (1 + δ) x^{n - 1} - 1.

$(1-n)x^n + n(1+\delta)x^{n-1} - 1.$

It is easily found iteratively. Here are the graphs of the optimal $x$ and $z$ as a function of $\delta$ for $n=6, 20, 50, 150$ , left to right:

As soon as $n$ reaches any appreciable size, even a tiny ratio of $1.001$ is consistent with one large outlying $x_n$ (the upper red curves) and a group of tightly clustered $x_i$ (the lower blue curves).

At the other extreme, suppose $n=2k$ is even (for simplicity). The minimum range is achieved when half the $x_i$ equal one value $x \le 1$ and the other half equal another value $z \ge 1$ . Now the solution (which is easily checked) is

x^{k} = 1 + δ \pm \sqrt{δ^{2} + 2 δ} .

$x^k = 1+\delta \pm \sqrt{\delta^2 + 2\delta}.$

For tiny $\delta$ , we may ignore the $\delta^2$ as an approximation and also approximate the $k^\text{th}$ root to first order, giving

x \approx 1 + \frac{δ - \sqrt{2 δ}}{k}; z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} .

$x \approx 1 + \frac{\delta-\sqrt{2\delta}}{k};\ z \approx 1 + \frac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k}.$

The range is approximately $\sqrt{32\delta}/n$ .

In this manner we have obtained upper and lower bounds on the possible range of the data. We have learned that they depend heavily on the amount of data $n$ . The upper bound shows the range can be appreciable even for tiny $\delta$ , thereby improving our sense of just how close to each other the data points really need to be--and placing a lower limit on their range, too.

Similar analyses, just as easily carried out, can inform you--quantitatively--of how tightly clustered the $x_i$ might be in terms of any other measure of spread, such as their variance or coefficient of variation.

— whuber
джерело

On the right of your right hand graph you seem to have

n = 150, δ = 0.002, x \approx 0.9954, z \approx 1.983, k = 75

$n=150, \delta=0.002, x\approx 0.9954, z \approx 1.983, k=75$ . I do not see how these values are near your stated formulae approximations which seem to give

x \approx 0.99918, z \approx 1.00087

$x \approx 0.99918, z\approx 1.00087$ . Perhaps I have misunderstood

— Henry

@Henry I don't know how you came up with those numbers. When

n = 150

$n=150$ , the requirements are that

x^{149} z = 1

$x^{149} z=1$ and

149 x + z = 150 (1.002) = 150.3

$149x + z=150(1.002)=150.3$ . Neither of those comes close to being true for the values you supply. When you plug in

x = 0.995416

$x=0.995416$ and

z = 1.98308

$z=1.98308$ , you get the correct values.

— whuber

I tried what looks to me like your

z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} = 1 + \frac{0.002 + \sqrt{2 \times 0.002}}{75} \approx 1.00087

$z \approx 1 + \dfrac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k} = 1+\dfrac{0.002+\sqrt{2\times 0.002} }{75} \approx 1.00087$ and similarly for

x

$x$ . But now I see this is answering a different question

— Henry

@Henry That solves a different problem: those are the values that give a minimum range. I did not post graphs for those. Indeed, with your

x

$x$ and

z

$z$ we have

75 x + 75 z \approx 150.3

$75x+75z\approx 150.3$ and

x^{75} z^{75} \approx 1

$x^{75}z^{75}\approx 1$ , as required.

— whuber