Як ми можемо отримати нормальний розподіл як

12

Скажімо, у нас є випадкова величина з діапазоном значень, обмежених і , де - мінімальне значення, а - максимальне значення. $a$ $b$ $a$ $b$

Мені сказали, що як , де - наш розмір вибірки, розподіл вибірки нашої вибіркової форми є нормальним розподілом. Тобто, як ми збільшуємо ми стаємо ближче і ближче до нормального розподілу, але фактичний межа при є рівним для нормального розподілу. $n \to \infty$ $n$ $n$ $n \to \infty$

Однак, чи не є частиною визначення нормального розподілу, яке воно повинно поширюватися від до ? $- \infty$ $\infty$

Якщо макс нашого діапазону дорівнює , то максимальне середнє значення вибірки (незалежно від розміру вибірки) буде дорівнює , а середнє значення вибірки дорівнює . $b$ $b$ $a$

Тому мені здається, що навіть якщо ми приймемо межу, коли наближається до нескінченності, наш розподіл не є фактичним нормальним розподілом, оскільки воно обмежене і . $n$ $a$ $b$

Що я пропускаю ?

— Джеремі радикліф
джерело

15

Ось що вам не вистачає. Асимптотичний розподіл не з (середнє значення вибірки), а з $\bar{X}_n$ , деє середнє значення. $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ $\theta$ $X$

Нехай є iid випадковими змінними такими, що і має середнє та дисперсію . Таким чином, має обмежену підтримку. CLT говорить, що $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

де - середня вибірка. Тепер $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

$n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

$n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

$\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

Щоб побачити, як працює алгебра, дивіться відповідь тут .

— Грінпаркер
джерело

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

Z

$Z$

@jeremyradcliff Я відредагував свою відповідь і включив посилання, що пояснює деякі деталі. Сподіваюсь, зараз це має більше сенсу.

— Грінпаркер

1

n

$n$

\infty

$\infty$

7

Якщо ви посилаєтесь на центральну граничну теорему, зауважте, що один правильний спосіб її виписати - це

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

$\mu, \sigma$ $x_i$

$n$

$n$ $n$ $n$

$X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

$n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

$n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

Так що розбіжність між фактичним розподілом і приблизними розподілом буде зникати, як має статися з наближеннями.

— Кліф АВ
джерело