Як ми можемо знати, що ймовірність кочення 1 і 2 дорівнює 1/18?

З мого першого класу ймовірностей я цікавився наступним.

Розрахунок ймовірностей зазвичай вводиться через відношення "сприятливих подій" до загальних можливих подій. У випадку закочування двох 6-сторонніх кісток кількість можливих подій становить , як показано в таблиці нижче.$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

Отже, якби ми були зацікавлені в обчисленні ймовірності події A "прокат і 2 ", ми побачили б, що існують дві "сприятливі події" і обчислимо ймовірність події як \ frac {2} {36} = \ frac {1} {18} .$1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

Тепер, що завжди мене здивувало: це, скажімо, неможливо було б розрізнити дві кістки, і ми спостерігали б їх лише після того, як вони були прокатуються, так, наприклад, ми спостерігали б "Хтось дає мені коробку. Я відкриваю коробку. Є $1$ і $2$ ". У цьому гіпотетичному сценарії ми б не змогли розрізнити дві кубики, тому ми б не знали, що до цього спостереження є дві можливі події. Тоді наші можливі події хотіли б цього:

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

і ми б обчислили ймовірність події A як $\frac{1}{21}$ .

Знову ж таки, я цілком усвідомлюю той факт, що перший підхід призведе нас до правильної відповіді. Я задаю собі запитання:

Як ми можемо знати, що $\frac{1}{18}$ правильний?

Дві відповіді, які я придумав:

• Ми можемо емпірично це перевірити. Наскільки мене це цікавить, мені потрібно визнати, що я цього не робив сам. Але я вважаю, що це було б так.
• Насправді ми можемо розрізнити кістки, як одна чорна, а інша блакитна, або кинути одну перед іншою або просто знати про можливих подій, а потім працює вся стандартна теорія.$36$

Мої запитання до вас:

• Які ще причини, щоб ми знали, що є правильним? (Я впевнений, що повинно бути кілька (принаймні технічних) причин, і саме тому я опублікував це питання)$\frac{1}{18}$
• Чи є якийсь основний аргумент проти припущення, що ми взагалі не можемо розрізнити кістки?
• Якщо припустити, що ми не можемо розрізнити кістки і не можемо емпірично перевірити ймовірність, чи навіть правильний чи я щось пропустив?$P(A) = \frac{1}{21}$

Дякую, що знайшли ваш час, щоб прочитати моє запитання, і я сподіваюся, що він є досить конкретним.

Уявіть, що ви кинули свою справедливу шестигранну штамп і ви отримали ⚀. Результат був настільки захоплюючим, що ви зателефонували своєму другові Дейву та розповіли йому про це. Оскільки йому було цікаво, що він отримає, кинувши свою справедливу шестигранну штангу, він кинув її і отримав ⚁.

Стандартна плашка має шість сторін. Якщо ви не обманюєте, то він приземляється на кожну сторону з однаковою ймовірністю, тобто в разів. Імовірність того, що ви кинете ⚀, така ж, як і з інших сторін, є . Ймовірність того, що ви кинете ⚀, а ваш друг кине ⚁, є оскільки дві події є незалежними, і ми множимо незалежні ймовірності. Говорячи інакше, існує домовленостей таких пар, які можна легко перерахувати (як ви вже робили). Ймовірність протилежної події (кидаєш ⚁, а твій друг кидає ⚀) також є6 $1$$6$$\tfrac{1}{6}$ 36$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$$\tfrac{1}{36}$. Ймовірності, що ви кидаєте ⚀, а ваш друг кидає ⚁ або ви кидаєте ⚁, а ваш друг кидає ⚀, є виключними , тому ми додаємо їх . Серед усіх можливих домовленостей є дві умови, що відповідають цій умові.$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

Звідки ми все це знаємо? Ну, на основі ймовірності , комбінаторики та логіки, але цим трьом потрібні деякі фактичні знання, на які можна покластися. На основі досвіду тисяч азартних гравців та фізики ми знаємо , що немає підстав вважати, що справедливий шестигранний загибель має інший, ніж безперечний шанс висадитися з кожного боку. Так само ми не маємо підстав підозрювати, що два незалежні кидки якимось чином пов'язані між собою і впливають один на одного.

Ви можете уявити коробку з табличками, на яких розміщено всі комбінації (з повторенням) чисел від до . Це обмежило б кількість можливих результатів до і змінило ймовірність. Однак якщо ви думаєте про таке визначення в терміні кістки, то вам доведеться уявити дві кістки, які якимось чином склеюються між собою. Це щось зовсім інше, ніж дві кістки, які можуть функціонувати самостійно і можуть бути кинуті окремо при посадці з кожної сторони з однаковою ймовірністю, не зачіпаючи один одного.1 6 $2$$1$$6$$21$

Все , що сказав, потрібно коментувати , що такі моделі є можливо, але не для таких речей , як кістки. Наприклад, у фізиці частинок на основі емпіричних спостережень виявилося, що статистика Боза-Ейнштейна нерозрізних частинок (див. Також проблему зірок і брусків ) є більш доцільною, ніж модель, що відрізняє частинки. Ви можете знайти деякі зауваження щодо цих моделей у " Імовірності" або " Ймовірність" через очікування Пітера Віттла або в томі "Вступ до теорії ймовірностей" та її застосувань Вільяма Феллера.

Думаю, ви не помічаєте факту, що не має значення, чи можемо ми "розрізнити кістки чи ні", а скоріше важливо, щоб кістки були унікальними та виразними, і діяти за власним бажанням.

Отже, якщо в сценарії закритого поля ви відкриєте поле і побачите 1 і 2, ви не знаєте, чи це або , тому що ви не можете розрізнити кістки. Однак і і призвели б до одного і того ж візуального, яке ви бачите, тобто 1 і 2. Отже, є два результати, що сприяють цьому візуальному. Аналогічно для кожної не однакової пари є два результати, що сприяють кожному візуалу, і, таким чином, існує 36 можливих результатів.( 2 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 $(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

Математично формула ймовірності події -

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

Однак ця формула справедлива лише тоді, коли кожен результат однаково вірогідний . У першій таблиці кожна з цих пар однаково вірогідна, тому формула дотримується. У другій таблиці кожен результат не однаково вірогідний, тому формула не працює. Те, як ви знайдете відповідь за допомогою таблиці

Ймовірність 1 і 2 = Імовірність + Ймовірність = .$(1,2)$$(2,1)$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

Ще один спосіб подумати над цим, це те, що цей експеримент точно такий же, як прокатка кожної штампів окремо, де ви можете помітити Die 1 і Die 2. Таким чином, результати та їх ймовірність будуть відповідати експерименту із закритим ящиком.

Давайте уявимо, що перший сценарій передбачає катання однієї червоної штампи та однієї синьої штампи, а другий - ви кочення пари білих кісток.

6) \\ \ hline \ end {array} Наші ідеалізовані кістки справедливі (кожен результат однаково вірогідний), і ви перерахували кожен результат. Виходячи з цього, ви правильно робите висновок, що один і два трапляються з вірогідністю

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ $\frac{2}{36}$ , абоВсе йде нормально.$\frac{1}{18}.$

Далі, припустимо, ви замість цього закатаєте дві однакові кістки. Ви правильно перерахували всі можливі результати, але ви неправильно вважали, що всі ці результати однаково вірогідні. Зокрема, результати вдвічі менші, ніж інші результати. Через це ви не можете просто обчислити ймовірність, додавши # бажаних результатів за загальну кількість результатів. Натомість, потрібно зважувати кожен результат за ймовірністю його виникнення. Якщо ви пробіжете математику, то виявите, що вона виходить однаковою - одна з подвійною ймовірністю подія в чисельнику з 15 подвійних імовірних подій та 6 подій однотонних.$(n,n)$

Наступне питання - "як я міг знати, що події не є однаково ймовірними?" Один із способів подумати над цим - уявити, що було б, якби ви могли розрізнити дві кістки. Можливо, ви поставили крихітний слід на кожній штампі. Це не може змінити результат, але це зменшує проблему попереднього. Припустімо, ви випишете діаграму так, щоб замість синього / червоного було прочитано лівий кут / правий кут.

В якості подальшої вправи подумайте про різницю між побаченням впорядкованого результату (червоний = 1, синій = 2) проти невпорядкованого (один вмирає, показуючи 1, один помирає, показуючи 2).

Ключова ідея полягає в тому, що якщо ви перерахуєте 36 можливих результатів двох відмінних кісток, ви перерахуєте однаково ймовірні результати. Це не очевидно, або аксіоматично; це правда лише в тому випадку, якщо ваші кістки справедливі і не пов'язані якось. Якщо ви перерахуєте результати нерозрізних кісток, вони не однаково вірогідні, тому що чому вони повинні бути, не більше, ніж результати "виграють в лотерею" і "не виграють в лотереї" однаково вірогідні.

Щоб дійти висновку, вам потрібно:

• Ми працюємо з чесними кістками, для яких усі шість цифр однаково вірогідні.
• Дві кубики є незалежними, так що ймовірність того, що вмирає номер два, отримає певне число, завжди не залежить від того, яке число померло число одне. (Уявіть собі, замість того, щоб двічі прокручувати одну і ту ж матрицю на липкій поверхні якоїсь форми, завдяки якій другий рулон вийшов різним.)

Враховуючи ці два факти про ситуацію, правила ймовірності говорять вам про те, що ймовірність досягнення будь-якої пари - це ймовірність досягнення у перший час відмирання, ніж досягнення у другому. Якщо ви почнете згуртовувати і разом, то у вас не буде простої незалежності подій, яка допоможе вам більше, тому ви не зможете просто помножити ймовірності. Натомість ви створили колекцію взаємовиключних подій (якщо ), тож ви можете сміливо додати ймовірності отримання та якщо вони різні.$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$$(a,b)$$(b,a)$

Ідея, що можна отримати ймовірності, просто підрахувавши можливості, покладається на припущення про рівну ймовірність та незалежність. Ці припущення рідко перевіряються в реальності, але майже завжди виникають у класі.

Якщо ви перекладете це на монети - скажімо, перегортаючи дві нерозрізні копійки - це стає питанням лише трьох результатів: 2 голови, 2 хвости, по 1 від кожної, і проблему легше помітити. Ця ж логіка застосовується, і ми бачимо, що більше шансів отримати 1 з кожного, ніж отримати 2 голови або 2 хвости.

Це слизькість вашої другої таблиці - вона представляє всі можливі результати, навіть якщо вони не всі однаково зважені ймовірності , як у першій таблиці. Неправильно було б спробувати визначити, що означає кожен рядок і стовпець у другій таблиці - вони мають значення лише в об'єднаній таблиці, де кожен результат має 1 поле, незалежно від ймовірності, тоді як перша таблиця відображає "всі однакові ймовірні результати вимирання 1, у кожного є свій рядок ", і аналогічно для стовпців і 2.

Почнемо з викладення припущення: нерозрізнені кістки збивають лише 21 можливий результат, тоді як розрізнені кістки роблять 36 можливих результатів.

Щоб перевірити різницю, отримайте пару однакових білих кісток. Нанесіть покриття на ультрафіолетовий матеріал, як сонцезахисний крем, який невидимий неозброєним оком. Кістки все ще здаються нерозрізними, доки ви не дивитесь на них під чорним світлом, коли покрита штамп стає чорною, а чиста штампова світиться.

Приховати пару кубиків у коробку і струсити її. Які шанси ви отримаєте 2 та 1, коли відкриєте поле? Інтуїтивно ви можете подумати, що "катання 1 і 2" - це лише 1 з 21 можливих результатів, тому що ви не можете розставити кістки. Але якщо ви відкриєте коробку під чорним світлом, ви можете розказати їх окремо. Коли ви можете розказати кістки окремо, "прокат 1 і 2" - це 2 з 36 можливих комбінацій.

Чи означає це, що чорне світло може змінювати ймовірність отримання певного результату, навіть якщо кістки піддаються впливу лише світла і спостерігаються після того, як вони прокатуються? Звичайно, ні. Ніщо не змінює кістки після того, як ви перестанете струшувати коробку. Імовірність даного результату не може змінитися.

Оскільки початкове припущення залежить від зміни, яка не існує, розумно зробити висновок, що вихідне припущення було невірним. Але що щодо початкового припущення є невірним - що нерозрізнені кістки збивають лише 21 можливий результат, або що розрізнювальний кісток котить 36 можливих результатів?

Очевидно, що експеримент із чорним світлом продемонстрував, що спостереження не впливає ні на ймовірність (принаймні, на цій шкалі - квантова ймовірність є різною справою) або на виразність предметів. Термін "нерозрізнений" просто описує те, що спостереження не може відрізняти від чогось іншого. Іншими словами, той факт, що кістки здаються однаковими за певних обставин (тобто, що вони не знаходяться під чорним світлом), а не в інших, не має жодного значення щодо того, що вони справді є двома різними предметами. Це справедливо, навіть якщо обставини, за яких ви зможете розмежувати їх, ніколи не виявляться.

Коротше кажучи: ваша здатність розрізняти кості, що котяться, не має значення при аналізі ймовірності певного результату. Кожен штамб за своєю суттю відрізняється. Усі результати ґрунтуються на цьому факті, а не на точці зору спостерігача.

Ми можемо зробити висновок, що ваша друга таблиця не відображає сценарій точно.

Ви усунули всі клітини внизу та зліва від діагоналі на підставі, що (1, 2) і (2, 1) є конгруентними і, отже, надмірними результатами.

Натомість припустімо, що ви робите один штамп двічі поспіль. Чи вірно вважати 1-тоді-2 ідентичним результатом, як 2-тоді-1? Ясно ні. Незважаючи на те, що результат другого результату не залежить від першого, вони все одно є різними результатами. Ви не можете усунути перестановки як дублікати. Тепер прокатка двох кісток одночасно для цієї ж мети однакова, як прокатка однієї штампи двічі поспіль. Тому ви не можете усунути перебудови.

(Досі не переконаний? Ось така собі аналогія. Ви йдете від свого будинку до вершини гори. Завтра ви підете назад. Чи був час у обидва дні, коли ви були в одному місці? Може, тепер уявіть? Ви йдете від свого будинку до вершини гори, і того ж дня інша людина йде з вершини гори до вашого будинку. Чи є в той день, коли ви зустрінетесь? Очевидно, що так. Вони є тим же питанням. в часі нерозбірливих подій не змінюється відрахувань, які можна зробити з цих подій.)

Якщо ми просто спостерігаємо "Хтось дає мені коробку. Я відкриваю цю скриньку. Є і ", без додаткової інформації ми нічого не знаємо про ймовірність.$1$$2$

Якщо ми знаємо, що дві кістки справедливі і що вони були скачені, то ймовірність становить 1/18, як пояснили всі інші відповіді. Той факт, що ми не знаємо, чи в першу чергу прокручували матрицю з 1 штампом з 2, не має значення, тому що ми повинні враховувати обидва способи - і тому ймовірність становить 1/18 замість 1/36.

Але якщо ми не знаємо, який процес призвів до поєднання 1-2, ми не можемо нічого знати про ймовірність. Можливо, людина, яка передала нам коробку, просто навмисно вибрала цю комбінацію і приклеїла кістки до коробки (ймовірність = 1), а може, він похитнув коробку, котячи кістки (ймовірність = 1/18), або він, можливо, вибрав навмання комбінація з 21 комбінації таблиці, яку ви нам дали у запитанні, і тому ймовірність = 1/21.

Підсумовуючи, ми знаємо ймовірність, оскільки знаємо, який процес призводить до остаточної ситуації, і ми можемо обчислити ймовірність для кожного етапу (ймовірність для кожної кістки). Процес має значення, навіть якщо ми не бачили, як він відбувся.

На закінчення відповіді я наведу пару прикладів, коли процес має велике значення:

• Перегортаємо десять монет. Яка ймовірність отримати голову всі десять разів? Ви можете бачити, що ймовірність (1/1024) набагато менша, ніж ймовірність отримання 10, якщо ми просто виберемо випадкове число між 0 і 10 (1/11).
• Якщо вам сподобалася ця проблема, ви можете спробувати вирішити проблему Monty Hall . Це схожа проблема, коли процес має значення набагато більше, ніж те, чого очікувала наша інтуїція.

Імовірність подій A і B обчислюється множенням обох ймовірностей.

Імовірність прокрутки 1, коли існує шість можливих варіантів, становить 1/6. Ймовірність прокрутки 2, коли існує шість можливих варіантів, становить 1/6.

1/6 * 1/6 = 1/36.

Однак подія не залежить від часу (іншими словами, не потрібно, щоб ми прокручували 1 перед 2; лише те, що ми котимо як 1, так і 2 у двох рулонах).

Таким чином, я міг прокатати 1 і потім 2 і задовольнити умову кочення як 1, так і 2, або я міг прокатати 2 і потім 1 і задовольнити умову кочення як 1, так і 2.

Ймовірність прокрутки 2, а потім 1 має однаковий розрахунок:

1/6 * 1/6 = 1/36.

Імовірність або A, або B - це сума ймовірностей. Тож скажімо, що подія A котиться 1, а потім 2, а подія В - це 2, а 1.

Ймовірність події A: 1/36 Ймовірність події B: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36, що зменшується до 1/18.