Розподіл квадратичної форми нормалей

Я намагаюся з’ясувати розподіл де , тобто я знаю, що, беручи кожен із членів окремо, і Але я не впевнений у розподілі (*)

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— Зайлей Чен
джерело

Ласкаво просимо на наш сайт! Це питання з курсу чи підручника? Якщо так, додайте [self-study]тег і прочитайте його вікі . Інакше було б цікаво дізнатися, в якому контексті виникла ця проблема. Дякуємо, що показали нам, що ви зробили, і де ви застрягли

— Silverfish

@Silverfish Ні, це я просто намагаюся з'ясувати. Я вирішив проблему до цього простого питання; моя оригінальна проблема є дещо складнішою, боюся! Отже, я намагався задати лише ту частину, в якій мені справді потрібна допомога. Але, якщо це виглядає як проблема з підручником, мені буде дуже цікаво дізнатися з якого тексту, сподіваючись, що він надає відповідну інформацію :)

— Zailei Chen

Це здається розумним! Крім того, дякуємо за те, що ви використовуєте набір латексу, ми завжди цінуємо зусилля

— Silverfish

Ось спроба :

Розглянемо таким, що і з $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Я не впевнений, чи можна це звести до незрозумілого MGF.

— правами
джерело

Деякі обговорення дещо більш загальної ситуації з'являються на сайті stats.stackexchange.com/questions/72479 із посиланням на документ, який пропонує наближення.

— whuber