Моделювання крикетів для вигулу крикетів, що витягують летючих мит

У мене є набір даних, в якому детально описується велика кількість ігор з крикетом (кілька тисяч). У крикет "котелки" кілька разів кидають м'яч підряд "летючі миші". Купальник намагається витягнути летючого митця "назовні". У цьому відношенні він досить схожий на глечики та клярі в бейсболі.

Якби я взяв цілий набір даних і поділив загальну кількість кульок, які вивели батсмена, на загальну кількість кульок, що збилися, я можу побачити, що я мав би середню ймовірність того, що боулер вийде з ботсмена - це буде приблизно 0,03 ( сподіваюся, я вже не помилився?)

Що мене цікавить, це те, що я можу зробити, щоб спробувати обчислити ймовірність того, що конкретний батсмен викине конкретний казан на наступному балі.

Набір даних є досить великим, що будь-який даний котел буде згорнутий тисячі кульок для широкого кола летючих мишей. Тож я вважаю, що я міг би просто поділити кількість аутів, що досягається котлом, на кількість кульок, які він зібрав, щоб обчислити нову ймовірність того, що конкретний котел вийде з наступного кулі.

Моя проблема полягає в тому, що набір даних не є достатньо великим, щоб гарантувати, що дана котел розіграв статистично значну кількість кульок на будь-якому даному миші. Тож, якщо мені цікаво обчислити ймовірність виходу для конкретної казанки, що стоїть перед певним митцем, я не думаю, що це не можна зробити так само спрощеним способом.

Моє питання - чи дійсний наступний підхід:

• По всьому набору даних ймовірність виходу м'яча становить 0,03.

• Якщо я порахую, що середня котел A має ймовірність потрапити на 0,06 (тобто вдвічі більше, ніж середній боулер),

• і в середньому кажан B мав ймовірність бути поза 0,01 (на третину вірогідніше, ніж у середнього летника),

• то чи правда сказати, що ймовірність того, що конкретний бэтсмен вийде на наступну кульку до цієї конкретної казанки, буде 0,06 * (0,01 / 0,03) = 0,02?

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}$

Якби я взяв цілий набір даних і розділив загальну кількість кульок, які вивели батсмена, на загальну кількість збитих куль, я можу побачити, що я мав би середню ймовірність того, що боулер вийде з ботсмена - це буде приблизно 0,03 (сподіваємось Я вже не помилився?)

На жаль, це, можливо, вже не саме те, що ви шукаєте.

Припустимо, у нас є одна чаша, і два летючі миші: Дон Бредмен і я. (Я дуже мало знаю про крикет, тому якщо я роблю щось тут, дайте мені знати.) Ігри проходять приблизно так:

• Дон іде до вати, і виходить на 99-ту миску.
• Я йду до вати, і я негайно виходжу.
• Дон іде до вати, і виходить на 99-ту миску.
• Я йду до вати, і я негайно виходжу.

У цьому випадку з 200 мисок є чотири аути, тому гранична ймовірність того, що качан вийде з копальника, оцінюється як 4/200 = 2%. Але насправді ймовірність того, що Дон вибув, схожа на 1%, тоді як моя - 100%. Тож якщо ви вибрали ботсмена та кегель навмання, то ймовірність того, що цей боулінг цього разу виграє цього летючого майстра, більше схожа на (50% шансів, що ви вибрали Дон) * (1% шансу він вибратися) + (50% шансу, що ви вибрали) мені) * (100% шанс вийти) = 50,05%. Але якщо ви вибрали крок навмання, то це 2% шанси, що він вийде. Тому вам потрібно добре подумати, про яку з тих моделей вибірки ви думаєте.

---

У всякому разі, ваша пропозиція не шалена. Більш символічно, нехай - боулер, а - кажан; нехай - ймовірність того, що вийде . Тоді ви говорите:$b$$m$$f(b, m)$$b$$m$

$$f(b, m) = \frac{\E_{m'}[ f(b, m') ] \E_{b'}[ f(b', m) ]}{\E_{b', m'}[ f(b', m') ]} .$$

Це має бажане властивість, яке: аналогічно послідовно, якщо ви берете кошти лише на або .

$$\E_{b,m}[f(b, m)] = \frac{\E_{b,m'}[ f(b, m') ] \E_{b',m}[ f(b', m) ]}{\E_{b',m'}[ f(b', m') ]} = \E_{b,m}[ f(b, m) ] ;$$ $b$$m$

Зверніть увагу, що в цьому випадку ми можемо призначити Ваше припущення полягає в тому, що ви можете досить добре спостерігати і з даних. Поки (а) у вас є достатньо ігор [якими ви займаєтесь] і (б) гравці грають один з одним із досить однаковою частотою, тоді це добре.

$$\begin{gather} C := \E_{b, m}[f(b, m)] \\ g(b) := \E_{m}[f(b, m)] / \sqrt{C} \\ h(m) := \E_{b}[f(b, m)] / \sqrt{C} \\ \text{so that } f(b, m) = g(b) \, h(m) .\end{gather}$$ $g(b)$$h(m)$

Щоб детальніше зупинитися на (б): уявіть, що у вас є дані з купою професійних ігор та з купою ігор мене, що грають з друзями. Якщо немає перекриття, можливо, я виглядаю дуже добре порівняно зі своїми друзями, тож, може, ти думаєш, що я набагато кращий за найгіршого професійного гравця. Це, очевидно, помилково, але у вас немає даних, які б спростували це. Якщо у вас є трохи перекриття, де я один раз грав проти професійного гравця і був знищений, то ці дані підтримують рейтинг мене та моїх друзів як гірше, ніж профі, але ваш метод цього не враховує. Технічно проблема полягає в тому, що ви припускаєте, що у вас є хороший зразок для, наприклад, , але ваш розподіл є упередженим.$\E_{b'}[f(b', m)]$$b'$

Звичайно, ваші дані не виглядатимуть так погано, але залежно від структури ліги чи будь-чого іншого, це може мати деякі елементи цієї проблеми.

---

Ви можете спробувати працювати навколо цього з іншим підходом. Запропонована модель для насправді є примірником матричної факторизації матриць низького рангу, поширеною при спільній фільтрації , як у проблемі Netflix . Там ви вибираєте функцію і яка має розмірність , і представляє . Ви можете інтерпретувати як складність вашої моделі з одного "показника якості" до балів у декількох вимірах: можливо, певні келихи краще від певних типів летючої миші. (Це було зроблено, наприклад, для ігор в НБА .)$f$$g(b)$$h(m)$$r$$f(b, m) = g(b)^T h(m)$$r>1$

Причина, яку вони називають матричною факторизацією, полягає в тому, що якщо ви робите матрицю з такою ж кількістю рядків, як казани і стільки стовпців, як митці, ви можете записати це як$F$

$$\underbrace{\begin{bmatrix} f(b_1, m_1) & f(b_1, m_2) & \dots & f(b_1, m_M) \\ f(b_2, m_1) & f(b_2, m_2) & \dots & f(b_2, m_M) \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ f(b_N, m_1) & f(b_N, m_2) & \dots & f(b_N, m_M) \end{bmatrix}}_{F} = \underbrace{\begin{bmatrix} g(b_1) \\ \vdots \\ g(b_N) \end{bmatrix}}_{G} \underbrace{\begin{bmatrix} h(m_1) \\ \vdots \\ h(m_M) \end{bmatrix}^T}_{H^T}$$ , де ви враховані матриці в один і один .$N \times M$$F$$N \times r$$G$$M \times r$$H$

Звичайно, ви не можете безпосередньо спостерігатиЗвичайна модель полягає в тому, що ви можете спостерігати галасливі записи навмання; у вашому випадку, ви отримаєте спостерігати нічию з біноміального розподілу з випадковим числом випробувань для кожного запису .$F$$F$$F$

Ви можете побудувати імовірнісну модель, наприклад, сказати:

$$\begin{gather} G_{ik} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_G^2) \\ H_{jk} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_H^2) \\ F_{ij} = G_i^T H_j \\ R_{ij} \sim \mathcal{Binomial}(n_{ij}, F_{ij}) \end{gather}$$ де спостерігаються і , і ви, певно, поставите кілька гіперпріорів над / і зробите висновок, наприклад, в Стен .$n_{ij}$$R_{ij}$$\sigma_G$$\sigma_H$

Це не ідеальна модель: для одного вона ігнорує, що співвідноситься з балами (як я вже згадував у першому розділі), і що ще важливіше, вона не обмежує бути в (ви, ймовірно, використовуєте логістичну сигмоіду чи подібну для цього). Пов'язана стаття, що має більш складні пріори для та (але це не використовує біноміальну ймовірність): Салахутдінов і Мніх, байєсівська імовірнісна матрична множина за допомогою ланцюга Маркова Монте-Карло , ICML 2008. ( doi / авторський pdf )$n$$F_{ij}$$[0, 1]$$G$$H$

Ви не можете зробити висновок про правильну ймовірність того, що B вийде з огляду на те, що A є катером, якщо A і B ніколи не зустрічалися на полі лише на основі середніх показників з іншими гравцями.