Часто визначення визначення ймовірності; чи існує формальне визначення?

Чи є якесь формальне (математичне) визначення того, що часто розуміють лікарі під "вірогідністю". Я читав, що це відносна частота виникнення '' в довгостроковій перспективі '', але чи є якийсь формальний спосіб її визначити? Чи є якісь відомі посилання, де я можу знайти це визначення?

Редагувати:

Під часткою (див. Коментар @whuber та мої коментарі до відповіді @Kodiologist та @Graeme Walsh нижче цієї відповіді) я маю на увазі тих, хто "вірить", що ця тривала відносна частота існує. Можливо, це (частково) відповідає і на питання @Tim

TL; DR Мабуть, не можна визначити частоточне визначення ймовірності, що відповідає рамці Колмогорова, яка не є повністю круглою (тобто в сенсі кругової логіки).

Не надто довго я читав: я хочу вирішити те, що я вважаю деякими потенційними проблемами щодо кандидатуристського визначення ймовірності По-перше, можна лише розумно трактувати як випадкову величину, тому вищенаведений вираз не є точно визначеним у строгому значенні. Нам потрібно вказати режим зближення для цієї випадкової величини, будь то майже напевно, ймовірно, в розподілі, в середньому або в середньому квадраті.

Але всі ці поняття конвергенції вимагають, щоб міра щодо простору ймовірностей була визначена, щоб мати значення. Інтуїтивним вибором, звичайно, було б підібрати конвергенцію майже напевно. Ця функція має обмеження, яке має існувати в точковому режимі, за винятком випадків нульової міри. Те, що являє собою набір мір нульових, буде збігатися для будь-якого сімейства заходів, які є абсолютно безперервними відносно один одного - це дозволяє нам визначити поняття майже впевненої конвергенції, що робить вищезгадану межу суворою, але все ще є дещо агностичною щодо того, що лежить в основі міра для вимірюваного простору подій є (тобто тому, що вона може бути будь-якою мірою абсолютно безперервною щодо якогось обраного заходу). Це дозволило б не допустити циркулярності у визначенні, яке виникла б заздалегідь встановлення заданого заходу,

Однак якщо ми використовуємо майже впевнену конвергенцію, то це означає, що ми обмежуємося ситуацією сильного закону великих чисел (відтепер SLLN). Дозвольте констатувати цю теорему (наведену на стор. 133 Чунга) заради посилання тут:

Нехай - послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин. Тоді у нас є де .$\{X_n\}$

$$\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

Отже, скажімо, у нас є вимірюваний простір і ми хочемо визначити ймовірність якоїсь події стосовно деякого сімейства взаємно абсолютно безперервних заходів ймовірності . Тоді або теоремою розширення Колмогорова або теоремою розширення Іонеску Тульчі (я думаю, що обидва працюють) ми можемо побудувати сімейство продуктових просторів , по одному для кожного . (Зауважимо, що існування нескінченних продуктових просторів, що є висновком теореми Колмогорова, вимагає, щоб міра кожного простору була дорівнює , отже, чому я зараз обмежуюсь вірогідністю, а не довільними мірами). Потім визначте$(X, \mathscr{F})$$A \in \mathscr{F}$$\{\mu_i\}_{i \in I}$$\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$$\mu_i$$1$$\mathbb{1}_{A_j}$ - показник випадкової величини, тобто який дорівнює якщо зустрічається в й копії, і якщо цього немає, іншими словамиТоді чітко (де позначає очікування щодо ), тому сильний закон великих чисел насправді буде застосувати до (тому що,$1$$A$$j$$0$

Однак я просто зрозумів, що навіть незважаючи на те, що послідовність випадкових змінних майже напевно буде збігатися відносно і лише тоді, коли вона конвергується майже напевно щодо , ( де ), що не обов'язково означає, що воно збіжиться до одного і того ж значення ; насправді, SLLN гарантує, що він не буде, якщо що не відповідає дійсності.$\frac{n_A}{n}$$\mu_{i_1}$$\mu_{i_2}$$i_1, i_2 \in I$$\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

Якщо якимось чином "досить канонічним", скажімо, як рівномірний розподіл для кінцевого набору, то, можливо, це чудово виходить, але насправді не дає ніяких нових розумінь. Зокрема, для рівномірного розподілу, , то є ймовірність тільки частка точок або елементарних подій в , які належать до , що мені знову здається дещо круговим. Для безперервної випадкової змінної я не бачу, як ми могли колись погодитись про "канонічний" вибір .$\mu$$\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$$A$$X$$A$$\mu$

Тобто здається, що має сенс визначати частоту події як вірогідність події, але, здається, не має сенсу визначати ймовірність того, що подія буде частотою (принаймні, не круговою). Це особливо проблематично, оскільки в реальному житті ми насправді не знаємо, яка ймовірність; ми повинні це оцінити.

Також зауважте, що це визначення частоти для підмножини вимірюваного простору залежить від того, чи обрана міра є простором ймовірності; наприклад, не існує продуктової міри для принаймні багатьох копій наділених мірою Лебега, оскільки . Аналогічно, міра за допомогою канонічної міри добутку дорівнює , яка або вибухає до нескінченності, якщо або йде до нуля, якщо , тобто теореми про розширення Колмогорова та Тулчі є дуже особливими результатами, властивими мірам ймовірності .$\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=\infty$$\prod_{j=1}^n X$$(\mu(X))^n$$\mu(X) >1$$\mu(X) <1$

Я не думаю, що математичного визначення немає. Різниця між різними тлумаченнями ймовірності не є різницею в тому, як математично визначена ймовірність. Ймовірність можна математично визначити таким чином: якщо простір міри з , то ймовірність будь-якої події просто . Я сподіваюся, ви погоджуєтесь, що це визначення є нейтральним щодо таких питань, як слід інтерпретувати ймовірності часто чи байєсською мовою.$(Ω, Σ, μ)$$μ(Ω) = 1$$S ∈ Σ$$μ(S)$