Визначення природних кубічних сплайнів для регресії

17

Я дізнаюся про сплайни з книги "Елементи статистичного вивчення даних, висновок та прогнозування" від Hastie et al. На сторінці 145 я виявив, що природні кубічні сплайни лінійні за межі вузлів. У є $K$ вузлів, і про такий сплайн у книзі наведено наступне. $\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$

Питання 1: Як звільняються 4 ступеня свободи? Я не розумію цієї частини.

Питання 2 : У визначенні коли тоді . Що намагається зробити автор у цій формулі? Як це допомагає переконатися, що сплайни лінійні за межами вузлів? $d_k(X)$ $k=K$ $d_K(X) = \frac 0 0$

— Дурін
джерело

17

$K+4$ $K$

$K+4$ $K$

$p$ $p$
$N_{k+2}$ $k=1,2,...,K-2$ $K$ $N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$ $k$ $d_k$ $k=K-1$ $d_K$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

4

$2$ $\xi_1, \xi_2$ $]-\infty, \xi_1[$ $]\xi_1, \xi_2[$ $]\xi_2, +\infty[$ $|I|=3$ $|I|-1=2$ вузли).

Для (звичайних) кубічних сплайнів

$4|I|=12$

1 (X < ξ_{1}); 1 (X < ξ_{1}) X; 1 (X < ξ_{1}) X^{2}; 1 (X < ξ_{1}) X^{3};

$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^2~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^3~~;$

1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}); 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{2}; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{3};

$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$

1 (ξ_{2} \leq X); 1 (ξ_{2} \leq X) X; 1 (ξ_{2} \leq X) X^{2}; 1 (ξ_{2} \leq X) X^{3} .

$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^3.$

$\mathcal{C}^r$ $r=2$ $(r+1)\times(|I|-1) = 3\times(|I|-1) = 6$

$12-6=6$

Для натуральних кубічних сплайнів

" Природний кубічний сплайн додає додаткові обмеження, а саме ця функція є лінійною за межі вузлів."

$4|I|-4=12-4$ $4$ $2$

1 (X < ξ_{1}); 1 (X < ξ_{1}) X;

$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~$

1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}); 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{2}; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{3};

$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$

1 (ξ_{2} \leq X); 1 (ξ_{2} \leq X) X .

$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X.$

$3\times(|I|-1) = 6$

$8-6=2$

— ахстат
джерело