Хто створив першу стандартну звичайну таблицю?

Я збираюся представити стандартну звичайну таблицю у своєму вступному класі статистики, і це мене здивувало: хто створив першу стандартну звичайну таблицю? Як вони зробили це до появи комп'ютерів? Я здригаюся, коли я думаю, що хтось жорстоко обчислює тисячу сум Рімана вручну.

Лаплас був першим, хто визнав необхідність підрахунку даних, придумавши наближення:

Перший сучасний стіл нормального розподілу був побудований пізніше французьким астроном Крістіан Kramp в Аналізувати де заломлення ЮТ Terrestres астрономічних даних (Par ль citoyen Крамп, Professeur де Chymie і де Статура expérimentale à l'Ecole Centrale їй Département - де - ла Roer, 1799) . З таблиць, пов’язаних із звичайним розповсюдженням: коротка історія Автор (и): Герберт А. Девід Джерело: Американський статистик, Vol. 59, № 4 (листопад 2005 р.), Стор 309-311 :

Крамп амбіційно дав восьмидесятичні ( D) таблиць розміром до D до D до і D до разом з різницями, необхідними для інтерполяції. Записуючи перші шість похідних він просто використовує розширення ряду Тейлора про з до терміна вЦе дозволяє йому переходити крок за кроком від до після множення на$8$$x = 1.24,$ $9$$1.50,$ $10$$1.99,$$11$$3.00$$G(x),$$G(x + h)$$G(x),$$h = .01,$$h^3.$$x = 0$$x = h, 2h, 3h,\dots,$$h\,e^{-x^2}$

$$1-hx+ \frac 1 3 \left(2x^2 - 1\right)h^2 - \frac 1 6 \left(2x^3 - 3x\right)h^3.$$ Таким чином, при цей продукт зменшується до так що при$x = 0$ $$.01 \left(1 - \frac 1 3 \times .0001 \right) = .00999967,$$ $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725.$

Але ... наскільки точним він міг бути? Добре, візьмемо як приклад:$2.97$

Дивовижний!

Перейдемо до сучасного (нормалізованого) виразу Гауссова pdf:

ПРВ є:$\mathscr N(0,1)$

де . Отже, .$z = \frac{x}{\sqrt{2}}$$x = z \times \sqrt{2}$

Тож переходимо до R і шукаємо ... Добре, не так швидко. Спершу ми маємо пам’ятати, що коли є постійне множення експонента в експоненціальній функції , інтеграл буде поділений на цей показник: . Оскільки ми прагнемо до тиражування результатів у старих таблицях, ми фактично множимо значення на , яке повинно з’явитися в знаменнику.$P_Z(Z>z=2.97)$$e^{ax}$$1/a$$x$$\sqrt{2}$

Крім того, Крістіан Крамп не нормалізувався, тому нам доведеться відповідно виправити результати, отримані R, помноживши на . Остаточне виправлення виглядатиме так:$\sqrt{2\pi}$

У випадку вище, і . Тепер перейдемо до R:$z=2.97$$x=z\times \sqrt{2}=4.200214$

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.00002363235e-05

Фантастичний!

Давайте підемо вгору таблиці для розваги, скажімо, ...$0.06$

z = 0.06
(x = z * sqrt(2))

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.8262988

Що говорить Крамп? .$0.82629882$

Дуже близько...

Річ у тому, як саме, точно? Після всіх отриманих голосів я не зміг залишити фактичну відповідь. Проблема полягала в тому, що всі програми оптичного розпізнавання символів (OCR), які я спробував, були неймовірно вимкнені - не дивно, якщо ви подивилися на оригінал. Отже, я навчився цінувати Крістіана Крампа за завзятість його роботи, коли я особисто набирав кожну цифру в першій колонці його « Прем’єр таблиці» .

Після вагомої допомоги від @Glen_b, тепер це може бути дуже точним, і він готовий скопіювати та вставити на консоль R у цьому посиланні на GitHub .

Ось аналіз точності його розрахунків. Зберись...

1. Абсолютна кумулятивна різниця між значеннями [R] та наближенням Крампа:

$0.000001200764$ - за розрахунок йому вдалося накопичити помилку приблизно в мільйон!$301$$1$

2. Середня абсолютна помилка (MAE) абоmean(abs(difference))зdifference = R - kramp:

$0.000000003989249$ - йому вдалося в середньому допустити жахливо смішні мільярдні помилки!$3$

Щодо запису, в якому його обчислення були найбільш розбіжними порівняно з [R], перше значення десяткового знаку знаходилось на восьмій позиції (сто мільйонів). У середньому (середній) його перша "помилка" була в десятій десятковій цифрі (десятій мільярді!). І хоча він ні в якому разі не повністю погодився з [R], найближчий запис не розходиться до тринадцяти цифрових записів.

3. Середня відносна різниця або mean(abs(R - kramp)) / mean(R)(те саме, що all.equal(R[,2], kramp[,2], tolerance = 0)):

$0.00000002380406$

4. Коренева середньоквадратична помилка (RMSE) або відхилення (надає більше ваги великим помилкам), обчислена якsqrt(mean(difference^2)):

$0.000000007283493$

Якщо ви знайшли зображення або портрет Чістіана Крампа, відредагуйте цю публікацію та розмістіть її тут.

За даними HA David [1] Лаплас визнав необхідність таблиць нормального розподілу "ще в 1783 р.", І перша нормальна таблиця була виготовлена ​​Крампом у 1799 році.

Лапласа запропонував два наближення серії, один для інтеграла від до з (яка пропорційна нормальному розподілу з дисперсією ) і один для верхнього хвоста.x e - t 2 $0$$x$$e^{-t^2}$$\frac{_1}{^2}$

Однак Крамп не використовував ці серії Лапласа, оскільки був проміжок у інтервалах, за які вони могли бути корисно застосовані.

По суті, він починається з інтеграла для області хвоста від 0, а потім застосовує розширення Тейлора щодо останнього обчисленого інтеграла - тобто, коли він обчислює нові значення в таблиці, він зміщує на своє розширення Тейлора на (де - інтеграл, що дає верхню область хвоста).G ( x + h ) $x$$G(x+h)$$G$

Конкретніше, цитуючи відповідні пари речень:

він просто використовує розширення ряду Тейлора про , з , до терміну в . Це дозволяє йому переходити крок за кроком від до , при множенніG ( х ) ч = 0,01 ч 3 х = 0 х = ч , 2 ч , 3 ч , . . $G(x + h)$$G(x)$$h = .01$$h^3$$x = 0$$x = h, 2h, 3h,...$$he^{-x^2}$

$$1-hx+ \frac13(2x^2 - 1)h^2 - \frac16(2x^3 - 3x)h^3.$$ $x = 0$ $$.01 (1 - \frac13 \times .0001 ) = .00999967,\qquad\qquad (4)$$ $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725$$10^{-9}$

Девід вказує, що таблиці широко використовувались.

Тож замість тисяч сум Рімана це були сотні розширень Тейлора.

Що стосується меншої замітки, у крайньому випадку (приклеєний лише калькулятор та кілька запам'ятовуваних значень із звичайної таблиці) я досить успішно застосував правило Сімпсона (та пов'язані з ним правила для чисельної інтеграції), щоб отримати гарне наближення до інших значень; виготовляти скорочену таблицю * до кількох цифр точності не все так нудно. [Виробляти таблиці масштабу та точності Крампа було б досить великим завданням, хоча, навіть використовуючи розумніший метод, як він це робив.]

* Під скороченою таблицею я маю на увазі ту, де ви можете в основному піти з інтерполяції між табличними значеннями, не втрачаючи занадто багато точності. Якщо ви хочете сказати лише 3-кратну точність фігури, вам дійсно не потрібно обчислювати всі такі величини. Я ефективно використав поліноміальну інтерполяцію (точніше, застосував кінцеві методи різниці), яка дозволяє створити таблицю з меншими значеннями, ніж лінійна інтерполяція - якщо дещо більше зусиль на кроці інтерполяції - а також зробила інтерполяцію з перетворенням logit, яка робить лінійну інтерполяцію значно ефективнішою, але вона дуже корисна, якщо у вас хороший калькулятор).

[1] Герберт А. Девід (2005),
"Таблиці, пов'язані з нормальним розповсюдженням: коротка історія"
Американський статистик , Vol. 59, № 4 (листопад), стор 309-311

[2] Крамп (1799),
Аналіз дефрагментів Astronomiques et Terrestres,
Leipzig: Schwikkert

Цікаве питання! Я думаю, що перша ідея виникла не через інтеграцію складної формули; скоріше, результат застосування асимптотики в комбінаториці. Метод ручки та паперу може зайняти кілька тижнів; не такий жорсткий для Карла Гаусса порівняно з розрахунком пирога для його попередників. Я думаю, що ідея Гаусса була сміливою; розрахунок був для нього легким.

Приклад створення стандартної таблиці z з нуля.
1. Візьміть сукупність з n (скажімо, n 20) чисел і перерахуйте з цього всі можливі вибірки розміру r (скажімо, r 5).
2. обчислити вибіркові засоби. Ви отримуєте nCr зразок засобів (тут, 20c5 = 15504 означає).
3. Їх середнє значення те саме, що середнє населення. Знайдіть stdev зразкових засобів.
4. Знайдіть z балів зразка засобів, використовуючи ці середні значення та stdev зразкових засобів.
5. Сортуйте z у порядку зростання і знайдіть ймовірність того, що z знаходиться в діапазоні у ваших nCr z значеннях.
6. Порівняйте значення з нормальними таблицями. Менший n хороший для ручних розрахунків. Більший n дасть ближчі приблизні значення нормальних таблиць.

Наступний код знаходиться в r:

n <- 20  
r <- 5  

p <- sample(1:40,n)  # Don't be misled!! Here, 'sample' is an r function  
                     used to produce n random numbers between 1 and 40.  
                     You can take any 20 numbers, possibly all different.  

c <- combn(p, r)     # all the nCr samples listed  
cmean <- array(0)  

for(i in 1:choose(n,r)) {  
    cmean[i] <- mean(c[,i])  
                }  

z <- array(0)  
for(i in 1:choose(n,r)) {  
    z[i] <- (cmean[i]-mean(c))/sd(cmean)  
                }  

ascend <- sort(z, decreasing = FALSE)  

Ймовірність падіння z від 0 до додатного значення q нижче; порівняйте з відомою таблицею. Маніпулюйте q нижче між 0 і 3,5 для порівняння.

q <- 1  
probability <- (length(ascend[ascend<q])-length(ascend[ascend<0]))/choose(n,r)   
probability   # For example, if you use n=30 and r=5, then for q=1, you  
              will get probability is 0.3413; for q=2, prob is 0.4773