Від рівномірного розподілу до експоненціального розподілу і навпаки

20

Ймовірно , це тривіальне питання, але мій пошук був безплідному до сих пір, в тому числі цієї статті в Вікіпедії , і «Compendium розподілів» документ .

Якщо $X$ має рівномірний розподіл, чи означає це, що слідує за експоненціальним розподілом? $e^X$

Аналогічно, якщо слідує за експоненціальним розподілом, чи означає це, що слідує за рівномірним розподілом? $Y$ $ln(Y)$

— лухоначо
джерело

3

Чому б ти очікував, що так буде? Через ім’я? Перевірте en.wikipedia.org/wiki/…, щоб побачити, як інші дистрибутиви пов'язані з експоненціальністю. Також

...

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$

— Тім

Ні, я думаю, що я переглядаю аналогії зі стандартними перетвореннями функцій, забуваючи, що з розподілами все по-іншому.

— luchonacho

25

Це не той випадок, коли експоненціальна рівномірна випадкова величина дає експоненцію, а також взяття журналу експоненціальної випадкової величини не дає однорідної.

Нехай є рівномірним на і нехай . $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Тож . $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Це не експоненціальна змінна. Аналогічний розрахунок показує, що журнал експоненції неоднаковий.

Нехай - стандартна експоненціальна, тому $Y$ . $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Нехай . Тоді $V=\ln Y$ . $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Це не однакова форма. ( На насправді є Gumbel -distributed випадкову величину, так що ви могли б назвати розподіл а 'перевертається Гамбела.) $-V$ $V$

Однак у кожному випадку ми можемо побачити це швидше, просто розглядаючи межі випадкових змінних. Якщо є рівномірним (0,1), він лежить між 0 і 1, тому $U$ $X=\exp(U)$ лежить між і ... значить, це не експоненціально. Аналогічно, для експоненти, на , так що не може бути однорідним (0,1), і , дійсно будь-який інший однорідною. $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

Ми також могли б імітувати та знову бачити це:

По-перше, виставляючи форму -

[синя крива - це щільність (1 / x на вказаному інтервалі), яку ми опрацювали вище ...]

По-друге, журнал експоненціалу:

Яке ми можемо побачити далеко не рівномірне! (Якщо ми розмежуємо cdf, який ми розробляли раніше, який би дав щільність, він відповідає формі, яку ми бачимо тут.)

Дійсно, зворотний метод cdf вказує на те, що прийняття від'ємника журналу рівномірної (0,1) змінної дає стандартну експоненціальну змінну, і, навпаки, експоненціація негативу стандартної експоненції дає рівномірність. [Також дивіться ймовірне інтегральне перетворення ]

Цей спосіб говорить нам, що якщо , $U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

$U$ $P(U\leq u) = u$ $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

$\log$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Чудова відповідь! Спасибі. Я бачу це зараз. Я обчислював CDF в обох випадках, і я отримую мінус журналу в першому випадку і абсолютне значення оберненого, в другому. Я думаю, що моя плутанина полягає в мисленні з точки зору стандартних перетворень функцій, що не випливає, якщо мова йде про розподіли. +1 для графіків!

— luchonacho

6

У вас це майже назад на фронт. Ти запитав:

"Якщо $X$ $e^X$
$Y$ $\ln(Y)$

In fact

if $X$ is uniform on $[0,1]$ then $-\log_e(X)$ follows an exponential distribution with parameter $1$
if $Y$ follows an exponential distribution with parameter $1$ then $e^{-Y}$ has a uniform distribution on $[0,1]$ .

More generally you could say:

if $X$ is uniform on $[a,b]$ then $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ follows an exponential distribution with rate parameter $k$
if $Y$ follows an exponential distribution with rate parameter $k$ then $e^{-kY}$ has a uniform distribution on $[0,1]$ while $a+(b-a)e^{-kY}$ has a uniform distribution on $[a,b]$

— Henry
джерело