Випадкові змінні, для яких нерівності Маркова, Чебишева є жорсткими

Мені цікаво побудувати випадкові величини, для яких нерівності Маркова чи Чебишева є жорсткими.

Тривіальним прикладом є наступна випадкова величина.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$. Його середнє значення дорівнює нулю, дисперсія - 1 і$P(|X| \ge 1) = 1$. Для цієї випадкової змінної чебишев є тісним (тримається з рівністю).

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Чи є цікавіші (неоднорідні) випадкові величини, щодо яких Марков і Чебишев тісні? Деякі приклади були б чудовими.

Клас розподілів, для яких обмежується обмеження випадку обмеженості Чебишева, добре відомий (і не так складно просто здогадатися). Нормалізовано за місцем розташування та масштабом

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Це (до масштабу) рішення, яке надано на сторінці Вікіпедії щодо нерівності Чебишева .

[Ви можете написати послідовність розподілів (шляхом розміщення $\epsilon>0$ більша ймовірність у центрі з однаковим вилученням рівномірно від кінцевих точок), які суворо задовольняють нерівності та підходять до цього обмежувального випадку максимально тісно.]

Будь-яке інше рішення можна отримати за зрушенням розташування та масштабу цього: Нехай $X=\mu+\sigma Z$.

Для нерівності Маркова нехай $Y=|Z|$ тому у вас є ймовірність $1-1/k^2$ при 0 і $1/k^2$ у $k$. (Тут можна ввести параметр масштабу, але не параметр місцезнаходження)

Моментні нерівності - і справді багато інших подібних нерівностей - як правило, мають дискретні розподіли як їх обмежуючі випадки.

Я вважаю, що отримати безперервний розподіл по всій реальній осі, яка точно слідує за Чебишевим, може бути неможливим.

Припустимо, що середнє та стандартне відхилення безперервного розподілу дорівнює 0 і 1, або зробіть це за допомогою масштабування. Тоді вимагають$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$. Для простоти розглянемо$x>0$; негативні значення визначатимуться симетрично. Тоді CDF розподілу є$1-1/x^2$. Отже, pdf, похідне від cdf, є$2/x^3$. Очевидно, це потрібно визначити лише для$x>0$через розрив. Насправді це навіть не може бути повсюдно правдивим, або інтеграл pdf не є кінцевим. Натомість, якщо слід уникати розривів (наприклад, кішка pdf просто 0 для$\mid x \mid <\alpha$) pdf має бути кусовим, рівним $\mid x \mid^3$ для $\mid x\mid \geq \alpha$.

Однак цей розподіл провалює гіпотезу - він не має кінцевої дисперсії. Щоб отримати безперервний розподіл по реальній осі з кінцевою дисперсією, очікувані значення$x$ і $x^2$повинні бути кінцевими. Вивчаючи зворотні многочлени, хвости, що йдуть як би$x^{-3}$ привести до кінцевого $E[x]$, але невизначений $E[x^2]$ тому що це включає інтеграл з асимптотично логарифмічною поведінкою.

Отже, зв’язок Чебичева точно не може бути задоволений. Ви можете вимагати$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$ для довільно малого $\epsilon$однак. Хвіст pdf іде так$x^{-(3+\epsilon)}$ і має певну дисперсію на порядок $1/\epsilon$.

Якщо ви готові дозволити дистрибуції жити лише на частині реальної лінії, але все-таки бути безперервним, то визначте $pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$ для $\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$ працює для

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ і $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ або будь-яке їх лінійне масштабування - але це в основному $0.887 < |x| < 1.39$, що не великий діапазон. І сумнівно, чи все-таки це обмеження відповідає початковій мотивації.