Чому , але ?

На цій центральній сторінці AP « Випадкові змінні проти алгебраїчних змінних» автор Пітер Фланаган-Гайд розрізняє алгебраїчні та випадкові змінні.

Частково каже

X + X ≠ 2 $x + x = 2x$ , але $X + X \neq 2X$

- насправді це підзаголовок статті.

У чому полягає основна відмінність алгебраїчної змінної від випадкової змінної?

Отже, давайте розглянемо спочатку це питання: "" У чому полягає основна відмінність між алгебраїчною змінною та випадковою змінною? "

Випадкова величина зовсім не є алгебраїчною змінною. Формально вона визначається як функція з імовірнісного простору в .Ω $X$$\Omega$$\mathbb R$

Гаразд ... Це насправді означає, що ви проводите випадкові експерименти (наприклад, кидаєте кістки, вибираєте випадкову людину) і вживаєте заходів щодо цих експериментів (наприклад, кількість на верхніх кубиках, висота, стать, рівень холестерину у людини ). Множина - це сукупність усіх можливих експериментів. На конкретному експерименті , ви зробите міра : тому формально вона є функцією від в .ω ∈ Ω X ( ω ) Ω $\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

Зараз взагалі ми повністю забуваємо про . Випадкові величини визначаються в терміні їх закону ймовірності. Що стосується справедливої ​​кістки, ви просто скажете$\Omega$

• k=1,…,6Xk$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$ для (ймовірність рівного становить 1/6 для від 1 до 6),$k=1,\dots,6$$X$$k$$k$

замість

• X $\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$ (набір кісток, на яких кидається міра - верхня грань - має ймовірність 1/6) ...$X$$k$

Це простіше. Ви навіть можете повністю уникнути того, щоб турбувати учнів за допомогою .$\Omega$

Я сподіваюся, що це проливає якесь світло.

Тепер, що означає цей хлопець під це не те, що сума такої міри сама по собі не вдвічі перевищує цю міру - на жаль, це те, що він пише. Він має на увазі те, що сума двох таких заходів, виконаних на різних експериментах, має не той самий закон, ніж двічі міри. Це може бути записано як (той факт, що і мають однаковий розподіл, не означає, що має той самий розподіл, що і ).$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$$X_1 + X_2$$2 X_1$

[Більш рання версія запитання вимагала відповіді, яка повністю уникала математики; ця відповідь була спробою дати деяку інтуїтивну мотивацію на рівні, подібній до документа, про який просили.]

Пов'язана сторінка не права , коли він говорить , що .$X+X\neq 2X$

У прикладі випадкова величина являє собою число, що відображається на лицьовій штампі - результат експерименту на кшталт "перекиньте шість сторонніх штампів один раз і запишіть число на грані штампу".$X$

Отже, ви перекидаєте штамп і записуєте те, що бачили. Яке б число ви не записували, це ... тому являє собою доданий до себе результат. Якщо ви скочуєте ще одну матрицю, це число, яке ви записали б раніше, не змінюється.$X$$X+X$

Пізніше на сторінці написано:

Однак, коли два кості розкачуються, результати різні. Назвіть випадкову змінну, яка представляє результати процесу двома кубиками (для "двох"). Ми могли б написати . Це рівняння являє собою той факт, що є результатом двох незалежних екземплярів випадкової величини$T$$T = X + X$$T$$T$

Сам кінець цієї цитати, мабуть, типографічна помилка, вони означають, що не (оскільки, якщо це був вони просто сказали, що - результат двох випадків). Але з цією заміною все ще неправильно.$X$$T$$T$$T$

Якщо у вас є два незалежних екземпляра експерименту (скокніть штамп, запишіть число, що відображається), ви маєте справу з двома різними випадковими змінними.

Тож уявіть, що я маю червону штампу та синю штампу. Тоді я можу сказати "Нехай результат на червоній штампі буде а результат на синьому - ". Тоді ми можемо наслідувати приклад на тій пов’язаній сторінці, визначивши як суму чисел, показаних на цих двох кубиках, тому . Якщо кістки та процес прокатки штампу справедливі, то розподіл та однаковий, але та - випадкові величини.$X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[Там відмінна дискусія whuber випадкових величин (і сум їх) тут , і концепція випадкових величин розглядається в трохи більш докладно (якщо в місцях більш технічний) тут . Я рекомендую вам хоча б прочитати відповідь на першому посиланні.]

Ця проблема виникла тому, що автор переплутав випадкову змінну з її розподілом. Ви можете побачити це тут:

У цьому випадку учні думають про випадкову змінну X як про єдине невідоме значення так само, як вони думають про алгебраїчні змінні. Але X справді відноситься до розподілу можливих значень і пов'язаних з цим ймовірностей.

Він явно зв'язує випадкову змінну з її розподілом.

Насправді випадкові змінні багато в чому подібно до інших алгебраїчних змінних і часто можуть маніпулювати таким же чином. Зокрема, одна одновимірна випадкова величина не позначається одночасно двома різними величинами (як результат від двох різних матриць). насправді .$X+X$$2X$

Сторінка, на яку ви пов’язані, є неправильною. Він пише хоча заявляє, що котить дві окремі незалежні кістки. Це означає, що він повинен написати де і - результати двох кубиків.$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

Викликати обидва - це неправильно, оскільки випадкова величина повинна бути реалізацією спостереження за киданням кістки, а не двома і більше.$X$$X$$one$

Для випадкової величини дійсно вірно, що$X+X=2X$