Чи визначають два квантування бета-розподілу його параметри?

Якщо я даю два та їх відповідні місця (кожен) у відкритому інтервалі , чи завжди я можу знайти параметри бета-розподілу, які мають ці кванти у зазначених місцях?$(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

Відповідь "так", якщо дані відповідають очевидним вимогам узгодженості. Аргумент простий, заснований на простому побудові, але він потребує певного налаштування. Це зводиться до інтуїтивно привабливого факту: збільшення параметра$a$ у бета-версії$(a,b)$ розподіл збільшує значення його щільності (PDF) більше для більшого $x$ ніж менший $x$; і збільшується$b$ робить навпаки: менший $x$ є, чим більше збільшується значення PDF.

Деталі випливають.

Нехай бажане $q_1$ квантил бути $x_1$ і бажане $q_2$ квантил бути $x_2$ з $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ і таким чином) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$. Тоді є унікальні$a$ і $b$ для яких бета$(a,b)$ розподіл має ці кванти.

Складність з демонстрацією цього полягає в тому, що бета-розподіл передбачає непокірну постійну нормалізацію. Нагадаємо визначення: для$a\gt 0$ і $b \gt 0$, бета-версія$(a,b)$ розподіл має функцію щільності (PDF)

Константа нормалізації - функція Бета

Все стає безладним, якщо ми спробуємо розмежуватись $f(x;a,b)$ безпосередньо стосовно $a$ і $b$, що було б найгрубішим способом спроби демонстрації.

Один із способів уникнути необхідності аналізу бета-функції - зазначити, що квантили відносні області. Це є,

для $i=1,2$. Ось, наприклад, функція PDF та накопичувальної дистрибуції (CDF)$F$ бета-версії$(1.15, 0.57)$ розповсюдження для якого $x_1=1/3$ і $q_1=1/6$.

Функція щільності $x\to f(x;a,b)$ зображено зліва. $q_1$- площа під кривою ліворуч від$x_1$, показана червоним кольором відносно загальної площі під кривою. $q_2$ - область зліва від $x_2$, що дорівнює сумі червоної та синьої областей, знову ж таки відносно загальної площі . CDF праворуч показує, як$(x_1,q_1)$ і $(x_2,q_2)$ позначте на ній дві чіткі точки.

На цій фігурі $(x_1,q_1)$ було зафіксовано в $(1/3,1/6)$, $a$ було обрано $1.15$, а потім значення $b$ було знайдено за що $(x_1,q_1)$ лежить на бета-версії$(a,b)$ CDF.

Лема : Така$b$ завжди можна знайти.

Щоб бути конкретним, нехай $(x_1, q_1)$фіксуватися раз і назавжди. (Вони залишаються однаковими на наведених нижче ілюстраціях: у всіх трьох випадках відносна область зліва від$x_1$ дорівнює $q_1$.) Для будь-якого $a\gt 0$, лема стверджує, що існує унікальне значення $b$, написана $b(a),$ для котрого $x_1$ є $q_1$ квантил бета$(a,b(a))$ розповсюдження.

Щоб зрозуміти, чому, зверніть увагу, що спочатку $b$ наближається до нуля, вся ймовірність накопичується поблизу значень $0$, звідки $F(x_1;a,b)$ підходи $1$. Як$b$ наближається до нескінченності, вся ймовірність накопичується поблизу значень $1$, звідки $F(x_1;a,b)$ підходи $0$. Між тим функція $b\to F(x_1;a,b)$ суворо зростає в Росії $b$.

Це твердження є геометрично очевидним: воно означає, що якщо ми подивимось на ділянку зліва під кривою $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ відносно загальної площі під кривою і порівняйте її з відносною площею під кривою$x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ для $b^\prime \gt b$, то остання площа порівняно більша. Співвідношення цих двох функцій є$(1-x)^{b^\prime-b}$. Це функція, рівна$1$ коли $x=0,$ неухильно опускаючись до $0$ коли $x=1.$ Тому висоти функції $x\to f(x;a,b^\prime)$є відносно більше , ніж висоти$x\to f(x;a,b)$ для $x$ зліва від $x_1$ ніж вони за $x$ праворуч від $x_1.$ Отже, область ліворуч від$x_1$в першому повинен бути порівняно більшим за площу праворуч від$x_1.$ (Це просто перекласти в суворий аргумент, використовуючи, наприклад, суму Рімана.)

Ми бачили, що функція $b\to f(x_1;a,b)$ строго монотонно зростає з обмежуючими значеннями при $0$ і $1$ як $b\to 0$ і $b\to\infty,$відповідно. Він також (чітко) безперервний. Отже, існує число$b(a)$ де $f(x_1;a,b(a))=q_1$ і це число унікальне, що підтверджує лему.

Цей же аргумент показує, що як $b$ збільшується, площа зліва від $x_2$збільшується. Отже, значення$f(x_2;a, b(a))$ діапазон через деякий інтервал чисел як $a$ прогресує майже $0$ майже $\infty.$ Межа $f(x_2;a,b(a))$ як $a\to 0$ є $q_1.$

Ось приклад, де $a$ близький до $0$ (це дорівнює $0.1$). З$x_1=1/3$ і $q_1=1/6$ (як на попередньому малюнку), $b(a) \approx 0.02.$ Між ними майже немає ділянки $x_1$ і $x_2:$

CDF практично рівна між ними $x_1$ і $x_2,$ звідки $q_2$ практично на вершині $q_1.$ У ліміті як $a\to 0$, $q_2 \to q_1.$

З іншого боку, досить великі значення $a$ призводить до $F(x_2;a,b(a))$ довільно близький до $1.$ Ось приклад з $(x_1,q_1)$ як і раніше.

Ось $a=8$ і $b(a)$ майже $10.$ Тепер $F(x_2;a,b(a))$ є по суті $1:$ Праворуч від району майже немає $x_2.$

Отже, ви можете вибрати будь-яку $q_2$ між $q_1$ і $1$ і відрегулювати $a$ до $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ Як і раніше, це $a$повинен бути унікальним, QED .

Робочий Rкод для пошуку рішень розміщений у розділі Визначення параметрів бета-розподілу$\alpha$ і $\beta$з двох довільних точок (квантилів) .