Різні перетворення щільності ймовірності через якобіанський фактор

У розпізнаванні образів Бішопа та машинному навчанні я прочитав наступне, одразу після введення щільності ймовірності $p(x\in(a,b))=\int_a^bp(x)\textrm{d}x$ :

При нелінійній зміні змінної щільність ймовірності перетворюється по-різному від простої функції завдяки якобіанському фактору. Наприклад, якщо ми розглянемо зміну змінних $x = g(y)$ , то функція $f(x)$ стає $\tilde{f}(y) = f(g(y))$ . Тепер розглянемо щільність ймовірності $p_x(x)$ яка відповідає щільності $p_y(y)$ стосовно нової змінної $y$ , де суфекти позначають той факт, що $p_x(x)$ і $p_y(y)$ - різна щільність. Спостереження, що потрапляють у діапазон $(x, x + \delta x)$ , для малих значень $\delta x$ будуть перетворені в діапазон $(y, y + \delta y$ ), де , отже, p_y (y) = p_x (x) | \ frac {dx} {dy} | = p_x (g (y)) | g \ prime (y) | .$p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)δy$$p_y(y) = p_x(x) |\frac{dx}{dy}| = p_x(g(y)) | g\prime (y) |$

Що таке якобійський фактор і що саме все означає (можливо, якісно)? Єпископ каже, що наслідком цієї властивості є те, що концепція максимальної щільності ймовірності залежить від вибору змінної. Що це означає?

Як на мене, це виглядає зовсім непритомним (враховуючи це у вступній главі). Буду вдячний за деякі підказки, дякую!

Я пропоную вам прочитати рішення питання 1.4, яке забезпечує добру інтуїцію.

У двох словах, якщо у вас є довільна функція та дві змінні і які пов'язані між собою функцією , то ви можете знайти максимум функції або шляхом прямого аналізу : або перетворена функція : . Не дивно, і будуть пов'язані з кожним як (тут я припустив, що .$f(x)$$x$$y$$x = g(y)$$f(x)$$\hat{x} = argmax_x(f(x))$$f(g(y))$$\hat{y} = argmax_y(f(g(y))$$\hat{x}$$\hat{y}$$\hat{x} = g(\hat{y})$$\forall{y}: g^\prime(y)\neq0)$

Це не стосується розподілу ймовірностей. Якщо у вас є розподіл ймовірностей та дві випадкові величини, які пов'язані між собою через . Тоді немає прямого зв’язку між і . Це відбувається через якобіанський фактор - фактор, який показує, як об'єм відносно змінюється такою функцією, як .$p_x(x)$$x=g(y)$$\hat{x} = argmax_x(p_x(x))$$\hat{y}=argmax_y(p_y(y))$$g(.)$