Коли коваріація відстані менш відповідна, ніж лінійна коваріація?

Мене щойно познайомили (неясно) з короваріацією / кореляцією броун / відстань . Це здається особливо корисним у багатьох нелінійних ситуаціях під час тестування на залежність. Але це, здається, не використовується дуже часто, хоча коваріація / кореляція часто використовується для нелінійних / хаотичних даних.

Це мене думає, що можуть бути деякі недоліки в відстані коваріації. Отже, що вони таке, і чому не завжди завжди завжди використовується коваріація відстані?

Я спробував зібрати кілька зауважень щодо коваріації відстані на основі вражень від читання посилань, перелічених нижче. Однак я не вважаю себе експертом з цієї теми. Коментарі, виправлення, пропозиції тощо вітаються.

Зауваження (сильно) упереджене до потенційних недоліків, як це вимагається в оригінальному запитанні .

Як я бачу, можливі недоліки такі:

1. Методика нова . Я здогадуюсь, що це єдиний найбільший фактор щодо недостатньої популярності в цей час. Документи, що окреслюють коваріацію відстані, починаються з середини 2000-х років і просуваються до сьогодні. Процитований вище документ є тим, хто привернув найбільше уваги (галас?) І йому менше трьох років. На противагу цьому, теорія та результати щодо кореляційних та кореляційних заходів мають вже понад століття роботи за ними.
2. Основні поняття є більш складними . Пирсон-співвідношення продукту-моменту, на операційному рівні, можна легко пояснити коледжу-першокурснику без обчислення. Можна викласти просту "алгоритмічну" точку зору, а геометричну інтуїцію легко описати. На противагу цьому, у випадку коваріації відстані навіть поняття сум продуктів парних евклідових відстаней є дещо складнішим, а поняття коваріації відносно стохастичного процесу виходить далеко за рамки того, що можна розумно пояснити такій аудиторії .
3. Він обчислювально складніший . Основним алгоритмом обчислення статистики тесту є у розмірі вибірки на відміну від O ( n ) для стандартних кореляційних показників. Для невеликих розмірів вибірки це не велика справа, але для більш великих вони стають важливішими.$O(n^2)$$O(n)$
4. $X$$Y$$X$$Y$$\chi^2_1$
5. $|\rho|$
6. Невідомі властивості живлення . Послідовність всіх альтернатив по суті гарантує, що коваріація відстані повинна мати дуже низьку потужність проти деяких альтернатив. У багатьох випадках людина готова відмовитись від загальності, щоб отримати додаткову владу проти певних альтернативних інтересів. В оригінальних статтях показано кілька прикладів, коли вони стверджують про високу потужність щодо стандартних кореляційних показників, але я вважаю, що, повернувшись до (1.) вище, його поведінка щодо альтернатив ще недостатньо зрозуміла.

Ще раз повторюю, що ця відповідь, мабуть, стикається з досить негативною. Але це не є наміром. Існує кілька дуже красивих і цікавих ідей, пов'язаних з коваріацією відстані, і відносна новизна цього також відкриває шляхи дослідження для більш повного його розуміння.

Список літератури :

1. GJ Szekely та ML Rizzo (2009), броунівська коваріація відстані , Енн. Додаток Статист. , т. 3, ні. 4, 1236–1265.
2. Г. Дж. Секелі, М. Л. Ріццо та Н. К. Бакіров (2007), Вимірювання та випробування незалежності за допомогою співвідношення відстаней , Енн. Статист. , т. 35, 2769–2794.
3. Р. Ліонс (2012), Коваріація відстані в метричних просторах , Енн. Імовірно. (з'явитися).

Я цілком можу щось пропустити, але тільки наявність кількісної оцінки нелінійної залежності між двома змінними, здається, не має великої користі. Це не скаже вам форму відносин. Це не дасть вам ніяких засобів передбачити одну змінну від іншої. За аналогією, виконуючи дослідницький аналіз даних, іноді використовується крива льосу (плавніша локальна зважена розсіювач) як перший крок до визначення того, чи найкраще моделюються дані з прямою лінією, квадратикою, кубікою тощо. Але льос в і сам по собі не дуже корисний інструмент прогнозування. Це лише перше наближення до шляху пошуку працездатного рівняння для опису двовимірної форми. Це рівняння, на відміну від льосового (або результату коваріації відстані), може скласти основу підтверджуючої моделі.