АР (1) є процесом Маркова?

Чи є процес AR (1), такий як процес Маркова?$y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$

Якщо це так, то VAR (1) є векторною версією процесу Маркова?

Має місце такий результат: Якщо є незалежними приймаючими значеннями в E і f 1 , f 2 , … є функціями f n : F × E → F, тоді з X n визначено рекурсивно як$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$$E$$f_1, f_2, \ldots$$f_n: F \times E \to F$$X_n$

процес у F - процес Маркова, що починається з x 0 . Процес однорідний у часі, якщо ϵ s однаково розподілені, а всі f- функції однакові.$(X_n)_{n \geq 0}$$F$$x_0$$\epsilon$$f$

AR (1) і VAR (1) - це обидва процеси, задані в цій формі з

Таким чином, вони є однорідними марковськими процесами, якщо є iid$\epsilon$

Технічно простори і F потребують вимірюваної структури, а f -функції повинні бути вимірюваними. Досить цікаво, що зворотний результат має місце, якщо простір F - простір Бореля . Для будь-якого процесу Маркова ( X n ) n ≥ 0 на просторі Бореля F існують однорідні випадкові величини ϵ 1 , ϵ 2 , … в [ 0 , 1 ] та функції f n : F $E$$F$$f$$F$$(X_n)_{n \geq 0}$$F$$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$$[0,1]$ такий, що з ймовірністю один X n = f n ( X n - 1 , ϵ n ) . Див. Пропозицію 8.6 в Калленберзі,Основи сучасної ймовірності.$f_n : F \times [0, 1] \to F$

Процес - процес AR (1), якщо$X_{t}$

де помилки, - iid. Процес має властивість Маркова, якщо$\varepsilon_{t}$

З першого рівняння розподіл ймовірностей однозначно залежить лише від X t - 1 , тому так, так, процес AR (1) є процесом Маркова.$X_{t}$$X_{t-1}$

Що таке процес Маркова? (слабко говорити) Стохастичний процес - це Марківський процес першого порядку, якщо це умова

$AR(1)$

Те саме стосується і VAR (1), який є багатовимірним процесом Маркова першого порядку.