Що таке розподілення вибіркових засобів розподілу Коші?

14

Зазвичай, коли беруть випадкові середні вибіркові показники розподілу (розмір вибірки більше 30), отримують нормальне центрирование розподілу навколо середнього значення. Однак я чув, що розподіл Коші не має середнього значення. Яке розподіл отримують тоді, коли отримують вибіркові засоби розподілу Коші?

В основному для розподілу Коші не визначено, що таке і що таке розподіл ? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Стівен Стюарт-Галлус
джерело

1

Зі сторінки Вікіпедії виглядає, що середнє значення вибірки iid змінних Коші матиме таке ж розподіл, як і самі зразки.

— GeoMatt22

19

Якщо є iid Коші то ми можемо показати, що також є Коші використовуючи аргумент характерної функції: $X_1, \ldots, X_n$ $(0, 1)$ $\bar{X}$ $(0, 1)$

\begin{aligned} φ_{\bar{Х}} (т) & = Е (е^{i т \bar{Х}}) \\ = Е (\prod_{j = 1}^{н} е^{i т Х_{j} / н}) \\ = \prod_{j = 1}^{н} Е (е^{i т Х_{j} / н}) \\ = Е {(е^{i т Х_{1} / н})}^{н} \\ = е^{- | т |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

що є характерною функцією стандартного розподілу Коші. Доказ для більш загального випадку Коші в основному ідентичний. $(\mu, \sigma)$

— dsaxton
джерело

8

Щоб допомогти тим, у кого можуть виникнути проблеми з підключенням деяких деталей, крок від другого до третього рядка використовує незалежність, наступний - "однаково розподілений", наступний можна зробити декількома способами, але найпростіше це побачити що очікування всередині потужності є таким же інтегралом, як і для Коші cf, але в , тому (якщо ви вже знаєте cf для Коші), ви отримуєте а потім зведення ї потужності знижують умов.

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b -Встановити Моніку

Мені сподобалось, що інша відповідь також пояснила, що це означає, що це стабільний розподіл .

— Аполіс підтримує Моніку

5

Зазвичай, коли беруть випадкові середні вибіркові показники розподілу (розмір вибірки більше 30), отримують нормальне центрирование розподілу навколо середнього значення.

Не зовсім. Ви думаєте про центральну граничну теорему, яка стверджує, що задана послідовність IID випадкових змінних з кінцевою дисперсією (що сама по собі означає кінцеве середнє ), вираз переходить в розподілі до нормального розподілу, оскільки переходить до нескінченності. Немає гарантії, що середнє значення вибірки будь-якого кінцевого підмножини змінних буде нормально розподілено. $X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

Однак я чув, що розподіл Коші не має середнього значення. Яке розподіл отримують тоді, коли отримують вибіркові засоби розподілу Коші?

Як сказав GeoMatt22, вибіркові засоби будуть самі розподілені Коші. Іншими словами, розподіл Коші - це стабільний розподіл .

Зауважте, що теорема про центральний межа не застосовується до розподілених випадкових змінних Коші, оскільки вони не мають кінцевої середньої величини та дисперсії.

— Кодіолог
джерело

Мій коментар мав бути трохи сильнішим, ніж "середнє значення вибірки також Коши", оскільки середнє значення вибірки матиме ті ж параметри . Тобто, як і для нормального розподілу, параметр розташування буде однаковим, але на відміну від звичайного випадку, параметр масштабу також буде однаковим (тоді як для нормального випадку масштаб зменшується на ) . Принаймні, це моя інтерпретація перших 2 властивостей перетворення, перелічених за моїм посиланням.

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22

1

Ви сказали: " середнє значення вибірки перших n елементів збігається при розподілі до нормального розподілу, оскільки n переходить до нескінченності " ... не точно. За слабших умов, ніж вам потрібно для CLT, саме середнє сходиться до постійної (за слабким законом великих чисел). Ви повинні стандартизувати середнє значення, щоб отримати конвергенцію до нормального розподілу.

μ

$\mu$

— Glen_b -Встановити Моніку

@DilipSarwate виправлено. Не забувайте, що ви можете редагувати відповіді інших людей.

— Кодіолог