Яка формула коригуваного р-значення Бенджаміні-Хохберга?

Я розумію процедуру і те, що вона контролює. Отже, яка формула для скоригованого р-значення в процедурі BH для кількох порівнянь?

Щойно я зрозумів, що оригінальний BH не виробляє відрегульованих p-значень, лише коригував умову (не) відхилення: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Гордон Сміт все одно ввів коригувані показники рН в 2002 році, тому питання все ще стосується. Він реалізований в R, як p.adjustі метод BH.

У відомому документі Benjamini & Hochberg (1995) описана процедура прийняття / відхилення гіпотез на основі коригування рівня альфа. Ця процедура має однозначне еквівалентне переформулювання з точки зору скоригованих значень, але вона не обговорювалася в початковій роботі. За словами Гордона Сміта , він представив відрегулювати -значення в 2002 році при реалізації в R. На жаль, немає відповідного Цитування, тому він завжди був для мене незрозумілим , що слід процитувати , якщо один використовує BH-скориговані -значення.$p$p p$p$p.adjust$p$

Виявляється, процедура описана у Бенджаміні, Геллер, Єкутіелі (2009) :

Альтернативний спосіб представлення результатів цієї процедури - це подання скоригованих значень. Налагоджені BH значення визначаються як$p$$p$

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

Ця формула виглядає складніше, ніж є насправді. Він говорить:

1. По-перше, упорядкуйте всі -значення від малого до великого. Потім помножте кожен -значення на загальну кількість тестів і розділіть на його ранговий порядок.$p$$p$$m$
2. По-друге, переконайтесь, що отримана послідовність не зменшується: якщо вона коли-небудь почне зменшуватися, зробіть попереднє -значення рівним наступному (повторно, поки вся послідовність не стане зменшується).$p$
3. Якщо будь-яке значення значення закінчиться більшим за 1, зробіть його рівним 1.$p$

Це прямо переформулювання оригінальної процедури БХ з 1995 року. Можливо, існував більш ранній документ, в якому явно було введено концепцію значень, скоригованих БГ, але я не знаю жодної.$p$

Оновлення. @Zenit виявив, що Yekutieli & Benjamini (1999) описали те саме, що було ще в 1999 році:

Спочатку відповідь на точку. Вважайте, що - значення (одиночного тесту) пов'язане зі значенням статистики тесту. FDR Benjamini-Hochberg обчислюється в два етапи ( = # pvalues , = # pvalues): p z 0 N 0$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Тепер давайте розберемося з цим. Основна ідея (байєсів) полягає в тому, що спостереження виходять із суміші двох розподілів:

• f 0 ( z $\pi_0 \: N$ спостережень від нульової щільності$f_0(z)$
• f 1 ( z $(1-\pi_0) \: N$ спостережень з альтернативної щільності .$f_1(z)$

Спостерігається суміш цих двох:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

Визначення (баєсівські):

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$ (частка хвостових областей)
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$ (частка щільності хвоста)

Як показано нижче, Fdr еквівалентний FDR Benjamini hocherg при (що має місце в більшості досліджень з біоінформатики)$\pi_0 \approx 1$

(На основі статистичних висновків Efron & Tibshirani про комп'ютерну епоху )