Що таке вибірка випадкової величини?

Випадкова величина визначається як вимірювана функція з однієї -алгебра з базовим мірою до іншої -алгебра .σ ( Ω 1 , F 1 ) P σ ( Ω 2 , F 2$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Як ми можемо говорити про вибірку цієї випадкової величини? Чи трактуємо ми це як елемент елемента ? Або як та ж вимірювана функція, що і ?Ω 2$X^n$$\Omega_2$$X$

Де я можу прочитати більше про це?

Приклад:

В оцінці Монте-Карло ми доводимо неупередженість оцінювача, вважаючи вибірки функціями. Якщо очікування випадкової величини визначається як$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

і припускаючи, що є функціями, а , ми можемо продовжити так:X n = $X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

Якби був просто елементом з , ми не могли б написати останній набір рівнянь.Ω $X^n$$\Omega_2$

Зразок - це вимірювана функція від Ω 1 до Ω N 2 . Реалізація цього зразка - це значення, прийняте функцією при ω ∈ Ω 1 , ( x 1 , … , x N ) = ( X 1 ( ω ) , … , X N ( ω ) ) .$(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

При викладі

припускаючи, що - функції, а X n = $X^n$$X^n=X$

Функції це всі різні функції, це означає, що зображення X 1 ( ω ) , ... , X N ( ω ) можуть бути різними для даного ω . Коли зразок iid (незалежний і однаково розподілений), функції X n відрізняються двома іншими властивостями$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. однаковий розподіл, тобто для всіх вимірюваних множин A у F 2 ;$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. незалежність, тобто для всіх вимірюваних множин A 1 , … , A N в F$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

Ваше визначення

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

неправильно: так і повинно бути

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

Зразок можна взяти з сукупності , а не з випадкової величини. "Вибірка з випадкових змінних" - це спрощений спосіб сказати, що у нас є вибірка, складена з сукупності, що ми вважаємо n однаково розподіленими випадковими змінними. Отже такий зразок поводиться як n випадкових змінних. Це неоднозначно, оскільки поєднує термінологію, що використовується в імовірності та статистиці. Те ж саме з імітацією, де зразки беруть із загального розподілу . В обох випадках вибіркою є дані$n$$n$$n$ти маєш. Зразки розглядаються як випадкові змінні, оскільки випадкові процеси призводять до їх малювання. Вони однаково розподілені, оскільки походять від загального розповсюдження. Для роботи зі зразками ми маємо статистику, в той час як статистика використовує абстрактний, математичний опис її проблем з точки зору теорії ймовірностей, тому термінологія є змішаною. Випадкові змінні - це функції, що призначають ймовірності подіям, з якими можна зіткнутися у ваших вибірках.