Яка ймовірність намалювати чотири з виду, коли з колоди 52 витягнуто 20 карт?

11

Вчора ми з домогосподарками грали в карткові ігри, і хтось спливав це питання. Ми намагалися вирішити проблему, але не змогли її розібратися. Сьогодні вранці я прокинувся і все ще цікавлюсь, як це вирішити. Будь ласка, допоможіть мені?

probability

— Леві Яно
джерело

10

Існує 13 видів, тому ми можемо вирішити проблему для одного виду, а потім рухатися вперед звідти.

Тоді питання полягає у тому, яка ймовірність досягти 4 успіхів (як королів) у 20 зразках з одного розподілу 4 успіхів (царів) та 48 невдач без заміни?

Гіпергеометричний розподіл (вікіпедія) дає нам відповідь на це питання, і це 1,8%.

Якщо один друг робить ставку на отримання 4 королів, а інший робить ставку на чотири королеви, вони мають 1,8% шансу виграти. Нам потрібно знати, наскільки дві пари перекриваються, щоб сказати, яка ймовірність того, що принаймні одна з них виграє.

Перекриття обох виграшів схоже на перше питання, а саме: яка ймовірність скласти 8 успіхів (королів і королев) у 20 зразках з розподілу 8 успіхів (королів і королев) та 44 невдач, без заміни?

Відповідь знову гіпегеометрична, і за моїм підрахунком, це 0,017%.

Тож ймовірність виграти хоча б одного з двох друзів становить 1,8% + 1,8% - 0,017% = 3,6%

Продовжуючи цей рядок міркувань, легка частина - це підсумовування ймовірностей за окремими видами (13 * 1,8% = 23,4%), а складна частина - з'ясувати, наскільки всі ці 13 сценарії перетинаються.

Ймовірність отримати або 4 царя, або 4 королеви, або 4 тузи - це сума отримання кожного чотирьох у своєму роді мінус перекриття їх. Перекриття складається з отримання 4 королів і 4 королеви (але не 4 тузів), отримання 4 королів і 4 тузів (але не 4 королеви), отримання 4 королеви і 4 туза (але не 4 королі) і отримання 4 королів і 4 королеви і 4 тузи.

Тут мені стає занадто волохатим, щоб продовжувати, але, виходячи з гіпергеометричної формули у вікіпедії, ви можете продовжити і все це виписати.

Може хтось може допомогти нам зменшити проблему?

— Петро
джерело

5

Ви майже там: використовуйте PIE . Відповідь - .

64545257011 / 293693771315 \approx 0.219771

$64545257011/293693771315\approx 0.219771$

— whuber

7

Щоб намалювати щонайменше вказаних чотирьох видів, ми повинні намалювати всі необхідні картки. Це гіпергеометричний розподіл, де ми повинні витягти всі успіхи з популяції розміром Є такі множини чотирьох видів. Тому шанс отримати принаймні чотирьох видів є $k$ $4k$ $4k$ $52.$ $\binom{13}{k}$ $k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ для $0\leq k\leq5.$

Таким чином, за принципом включення-виключення ймовірність намалювати хоча б одну особу-чотири в роді, дорівнює

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

Це можна обчислити чисельно приблизно $0.2197706.$

Вищенаведена сума має вигляд якщо відняти додаток після цього , оскільки умови для дорівнюють нулю. Цікаво, чи є спосіб спростити таку суму. $\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$ $k=0$ $5<k\leq 13$

— Випадковий статистик
джерело

Для додаткового кредиту :-), яка очікувана кількість карт, які потрібно витягнути, щоб досягти ймовірності 50% (принаймні для одного набору з 4)? :-)

— Карл Віттофт

2

@CarlWitthoft Подивимось. Малюючи картки, ви хочете , або . Це трохи більше чотирьохкореневого корінця , тож ви можете переходити через значення починаючи з щоб швидко дістати необхідність скласти карти. Це дає вам ймовірність .

d

$d$

13 (\binom{48}{d - 4}) \geq \frac{1}{2} (\binom{52}{d})

$13 \binom{48}{d-4} \geq \frac{1}{2} \binom{52}{d}$

d (d - 1) (d - 2) (d - 3) \geq \frac{1}{26} \frac{52!}{48!} = 249900

$d(d-1)(d-2)(d-3) \geq \frac{1}{26} \frac{52!}{48!} = 249900$

22

$22$

d

$d$

23

$23$

24

$24$

0.5102521

$0.5102521$

— Випадковий статистик