Емпіричний CDF проти CDF

Я дізнаюся про емпіричну функцію кумулятивного розподілу. Але я все одно не розумію

1. Чому його називають "емпіричним"?

2. Чи є різниця між емпіричним CDF та CDF?

Нехай - випадкова величина.$X$

• Функція кумулятивного розподілу дає .$F(x)$$P(X \leq x)$
• Емпірична функція кумулятивного розподілу дає на основі спостережень у вашій вибірці.$G(x)$$P(X \leq x)$

Відмінність полягає в тому, який показник ймовірності використовується. Для емпіричного CDF ви використовуєте міру ймовірності, визначену підрахунками частоти в емпіричній вибірці.

Простий приклад (фліп монети):

Нехай - випадкова величина, що позначає результат одного перевертання монети, де позначає голівки, а - хвости.$X$$X=1$$X=0$

CDF за справедливу монету надається:

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } x < 0\\ \frac{1}{2} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\1 & \text{for } 1 \leq x \end{array} \right.$$

Якщо ви перевернули 2 голови та 1 хвіст, емпіричним CDF буде:

$$G(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } x < 0\\ \frac{2}{3} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\1 & \text{for } 1 \leq x \end{array} \right.$$

Емпіричний CDF відображає, що у вашому зразку ваших фліп були головами.$2/3$

Інший приклад ( - CDF для нормального розподілу):$F$

Нехай - нормально розподілена випадкова величина із середнім значенням та стандартним відхиленням .$X$$0$$1$

CDF надається:

$$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}$$

Скажімо, у вас було 3 розіграші IID та отримано значення . Емпіричним CDF буде: $x_1 < x_2 < x_3$

$$G(y) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } y < x_1\\ \frac{1}{3} & \text{for } x_1 \leq y < x_2 \\\frac{2}{3} & \text{for } x_2 \leq y < x_3 \\1 & \text{for } x_3 \leq y \end{array} \right.$$

При достатньому розіграші IID (і певні умови регулярності виконуються), емпіричний CDF буде конвергуватися на базовий CDF населення.

Чи є різниця між емпіричним CDF та CDF?

Так, вони різні. Емпіричний cdf є належним cdf, але емпіричний cdfs завжди буде дискретним, навіть якщо він не виведений з дискретного розподілу, тоді як cdf дистрибутива може бути іншими речами, крім дискретних.

Якщо ви ставитеся до вибірки так, ніби це сукупність значень, кожне з яких однаково вірогідне (тобто розміщення ймовірності 1 / n на кожному спостереженні), то cdf цього розподілу буде ECDF даних.

Чому його називають "емпіричним"?

Це оцінка cdf кількості населення на основі вибірки; конкретно, якщо ви ставитеся до пропорцій вибірки за кожним окремим значенням даних і трактуєте її так, як це було ймовірністю для популяції, ви отримуєте ECDF.

Емпіричне значення має щось на кшталт "спостереження, а не теорія", і саме це означає в даному випадку ... використовуючи спостереження для визначення функції розподілу.

Емпіричний CDF побудований з фактичного набору даних (на графіку нижче я використав 100 зразків зі стандартного нормального розподілу). CDF - теоретична конструкція - це те, що ви побачили, якби ви могли взяти нескінченно багато зразків.

Емпіричний CDF зазвичай наближає CDF досить добре, особливо для великих зразків (насправді, є теореми про те, як швидко він переходить до CDF зі збільшенням розміру вибірки).

Емпіричне - це щось, що ви будуєте з даних та спостережень. Наприклад, припустимо, ви хочете знати про розподіл росту людей у ​​країні. Ви починаєте з вимірювання людей і придумуєте гістограму, яку можна наблизити до розподілу. Тоді ви обчислюєте емпіричний CDF.

Якщо ви використовуєте статистичний розподіл (детерміновану формулу, яка дає точно такий же вихід з тими ж параметрами), ви можете також обчислити його CDF.

$N(\mu=1.75\ \text{m},\sigma=0.1\ \text{m})$

За даними Dictionary.com , визначення "емпіричного" включають:

отримані з досвіду чи експерименту або керуються ними

Отже, емпіричний CDF - це CDF, який ви отримуєте зі своїх даних. Це контрастує з теоретичним CDF (часто його називають "CDF"), який отримують із статистичної або ймовірнісної моделі, такої як нормальний розподіл.