Як вибрати найкращу трансформацію для досягнення лінійності?

Я хочу зробити декілька лінійних регресій, а потім передбачити нові значення з невеликою екстраполяцією. У мене є змінна відповідь у діапазоні від -2 до +7 та три предиктори (діапазони приблизно +10 - +200). Розподіл майже нормальний. Але взаємозв'язок між відповіддю та предикторами не є лінійним, на графіках я бачу криві. Наприклад так: http://cs10418.userapi.com/u17020874/153949434/x_9898cf38.jpg

Я хотів би застосувати трансформацію для досягнення лінійності. Я спробував перетворити змінну відповіді, перевіривши різні функції та переглянувши отримані графіки, щоб побачити лінійний взаємозв'язок між відповіддю та предикторами. І я виявив, що існує багато функцій, які можуть дати мені видимі лінійні відносини. Наприклад, функції

$t_1=\log(y+2.5)$

$t_2=\frac{1}{\log(y+5)}$

$t_3=\frac{1}{y+5}$

$t_4=\frac{1}{(y+10)^3}$

$t_5=\frac{1}{(y+3)^\frac{1}{3}}$ тощо дають подібні результати: http://cs10418.userapi.com/u17020874/153949434/x_06f13dbf.jpg

Після того як я збираюсь перетворити передбачувані значення (для як тощо). Розподілення більш-менш схожі на звичайні. y′=$t=\frac{1}{(y+10)^3}$$y’=\frac{1}{t^\frac{1}{3}}-10$

Як я можу вибрати найкращі перетворення для своїх даних? Чи існує кількісний (і не дуже складний) спосіб оцінки лінійності? Щоб довести, що вибрана трансформація є найкращою або, якщо можливо, знайти її автоматично.

Або єдиний спосіб - це зробити нелінійну множинну регресію?

Це дещо мистецтво, але є деякі стандартні, прості речі, які завжди можна спробувати.

Перше, що потрібно зробити, це повторно виразити залежну змінну ( ), щоб зробити залишки нормальними. Це не реально застосовано в цьому прикладі, коли точки, схоже, падають по плавній нелінійній кривій з дуже невеликим розсіюванням. Тож переходимо до наступного кроку.$y$

Наступне - повторно виразити незалежну змінну ( ) для лінеаризації відносин. Існує простий, простий спосіб зробити це. Виберіть три репрезентативні точки уздовж кривої, бажано на обох кінцях та посередині. З першої цифри я зачитував упорядковані пари ( r , y ) = ( 10 , 7 ) , ( 90 , 0 ) і ( 180 , - 2 ) . Без будь-якої іншої інформації, окрім того, що r завжди виявляється позитивним, хорошим вибором є вивчення перетворень Box-Cox$r$$(r,y)$$(10,7)$$(90,0)$$(180,-2)$$r$ для різних ступенях р ,правиловибираютьщоб бути кратні 1 / 2 або 1 / 3 і зазвичай між - 1 і 1 . (Обмежувальне значення знаближенням p дорівнює 0 - log ( r ) .) Це перетворення створить приблизну лінійну залежність за умови, що нахил між першими двома точками дорівнює нахилу між другою парою.$r \to (r^p-1)/p$$p$$1/2$$1/3$$-1$$1$$p$$0$$\log(r)$

Наприклад, нахили неперетворених даних складають = - 0,088 і ( - 2 - 0 ) / ( 180 - 90 ) = - 0,022 . Вони зовсім інші: один приблизно в чотири рази більше іншого. Спроба р = - 1 / 2 дає нахили ( 0 - 7 ) / ( 90 - 1 $(0-7)/(90-10)$$0.088$$(-2-0)/(180-90)$$-0.022$$p=-1/2$,т.д., які працюють поза до-16,6і-32,4: тепер один з них тількидва рази більша за іншу, що є удосконаленням. Продовжуючи таким чином (електронна таблиця зручна), я вважаю, щоp≈0працює добре: схили зараз-7,3та-6,6, майже однакове значення. Отже, слід спробувати модель виглядуy=α+βlog(r). Потім повторіть: встановіть рядок, вивчіть залишки, визначте перетворення$(0-7)/(\frac{90^{-1/2}-1}{-1/2}-\frac{10^{-1/2}-1}{-1/2})$$-16.6$$-32.4$$p \approx 0$$-7.3$$-6.6$$y = \alpha + \beta \log(r)$$y$ зробити їх приблизно симетричними та ітераційними.

Джон Тукі надає деталі та багато прикладів у своїй класичній книзі « Розвідувальний аналіз даних» (Аддісон-Уеслі, 1977). Він наводить подібні (але дещо більш задіяні) процедури для виявлення дисперсій-стабілізуючих перетворень . Один набір даних зразків, який він надає в якості вправ, стосується давніх даних про тиску пари ртуті, виміряні при різних температурах. Дотримуючись цієї процедури, можна повторно розкрити співвідношення Клаус і Клапейрон ; залишки до остаточного пристосування можна інтерпретувати через квантово-механічні ефекти, що виникають на атомних відстанях!$y$

Якщо ваша змінна відповідь (а точніше, те, що стане залишками вашої змінної відповіді) в оригінальній шкалі має нормальне розподіл, як ви розумієте, то перетворення її для створення лінійного зв’язку з іншими змінними означатиме, що вона більше не є нормальною і це також змінить співвідношення між його дисперсією та середніми значеннями. Отже, з тієї частини Вашого опису, я думаю, вам краще використовувати нелінійну регресію, ніж трансформувати відповідь. В іншому випадку після лінійного перетворення відповіді вам знадобиться більш складна структура помилок (хоча це може бути справою судження, і вам потрібно буде перевірити, використовуючи графічні методи).

Альтернативно, досліджуйте трансформацію пояснювальних змінних. Крім прямих перетворень, ви також можете додавати у квадратичному виразі.

Загалом, трансформація - це більше мистецтво, ніж наука, якщо немає існуючої теорії, яка б підказала, що слід використовувати як основу трансформації.