Чому статистики визначали випадкові матриці?

Я вивчав математику десять років тому, тому в мене є математика та статистика, але це питання мене вбиває.

Це питання для мене ще трохи філософське. Чому статистики розробляли всілякі методики для роботи зі випадковими матрицями? Тобто, чи не вирішив проблему випадковий вектор? Якщо ні, то яке середнє значення для різних стовпців випадкової матриці? Андерсон (2003, Wiley) вважає випадковий вектор особливим випадком випадкової матриці лише з одним стовпцем.

Я не бачу сенсу мати випадкові матриці (і я впевнений, що це тому, що я необізнаний). Але, понесіть мене. Уявіть, у мене є модель з 20 випадковими змінними. Якщо я хочу обчислити функцію спільної ймовірності, чому я повинен зображувати їх як матрицю замість вектора?

Що я пропускаю?

ps: Вибачте за неякісне запитання, але тегів для випадкової матриці не було, і я ще не можу створити його!

редагувати: змінено матрицю на матриці в заголовку

Це залежить від того, в якому полі ви знаходитесь, але один з великих початкових зусиль для вивчення випадкових матриць з'явився з атомної фізики та був заснований Вігнером. Короткий огляд ви можете знайти тут . Зокрема, саме власні значення (які є енергетичними рівнями в атомній фізиці) випадкових матриць викликали тонни інтересів, оскільки кореляції між власними значеннями дали розуміння спектру викидів ядерних процесів розпаду.

Зовсім недавно в цій галузі відбулося велике пожвавлення, з появою розподілу / с Трейсі-Відом для найбільших власних значень випадкових матриць, а також приголомшливих зв'язків із начебто неспорідненими полями, такими як теорія плитки , статистична фізика, інтеграційна системи , явища КПЗ , випадкова комбінаторика і навіть гіпотеза Рімана . Ви можете знайти ще кілька прикладів тут .

Для отримання більш глибинних прикладів, природним питанням щодо матриці рядкових векторів є те, як можуть виглядати її компоненти PCA. Ви можете отримати евристичні оцінки для цього, якщо припустити, що дані надходять з деякого розподілу, а потім переглянувши власні значення матриці коваріації, які будуть прогнозовані з універсальної матриці універсальності : незалежно від (в межах причини) розподілу ваших векторів, обмеження розподілу Власні значення завжди наближаються до набору відомих класів. Ви можете уявити це як своєрідний CLT для випадкових матриць. Дивіться приклади в цій статті .

Вам здається, що вам зручно застосовувати випадкові вектори. Наприклад, я щодня маю справу з подібними випадковими векторами: відсоткові ставки різних тенорів. Федеральний резервний банк має серії H15 , дивіться на казначейські рахунки 4-тижневий, 3-місячний, 6-місячний та 1-річний. Ви можете думати про ці 4 швидкості як вектор з 4 елементами. Це також цікаво випадково, подивіться на історичні значення на сюжеті нижче.

Як і у будь-яких випадкових числах, ми можемо запитати себе: яка коваріація між ними? Тепер ви отримуєте коваріаційну матрицю 4x4. Якщо ви оцінюєте її за щомісячними даними за місяць, ви отримуєте 12 різних коваріаційних матриць щороку, якщо ви хочете, щоб вони не перетиналися. Зразок матриці коваріації випадкових рядів сам по собі є випадковим об'єктом. тут . Існує дистрибуція, яка викликається за ним.

Це один із способів дійти до випадкових матриць. Не дивно, що теорія випадкових матриць (RMT) використовується у фінансах, як ви бачите зараз.

У теоретичній фізиці випадкові матриці відіграють важливу роль для розуміння універсальних особливостей енергетичних спектрів систем із певними симетріями.

Мій досвід теоретичної фізики може змусити мене представити тут трохи упереджену точку зору, але я б навіть зайшов так далеко, щоб припустити, що популярність теорії випадкових матриць (РМТ) походить від її успішного застосування у фізиці.

Не надто вдаючись до деталей, наприклад, енергетичні спектри в квантовій механіці можна отримати шляхом обчислення власних значень систем Гамільтоніана - які можна виразити як гермітичну матрицю. Часто фізиків не цікавлять конкретні системи, але хочуть знати, які є загальні властивості квантових систем, що мають хаотичні властивості, що призводить до значень ермітової гамільтонової матриці заповнювати простір матриць ергодично при зміні енергії чи інших параметрах ( наприклад, граничні умови). Це мотивує розгляд класу фізичних систем як випадкових матриць та перегляд середніх властивостей цих систем. Я рекомендую літературу про гіпотезу Богігаса-Джаноні-Шмідта, якщо ви хочете зануритися в цю глибшу.

Коротше кажучи, можна, наприклад, показати, що енергетичні рівні систем, що мають симетрію зворотного часу, поводяться універсально інакше, ніж енергетичні рівні систем, які не мають симетрії зворотнього часу (що відбувається, наприклад, якщо додати магнітне поле). Насправді досить короткий розрахунок за допомогою Гауссових випадкових матриць може показати, що рівні енергії, як правило, по-різному близькі в обох системах.

Ці результати можна розширити і допомогти зрозуміти також інші симетрії, які мали великий вплив на різні сфери, як, наприклад, фізика частинок або теорія мезоскопічного транспорту, а пізніше навіть на фінансових ринках.

Лінійна карта - це карта між векторними просторами. Припустимо, у вас є лінійна карта та вибрано бази для її просторів домену та діапазону. Потім ви можете написати матрицю, що кодує лінійну карту. Якщо ви хочете розглянути випадкові лінійні карти між цими двома просторами, вам слід придумати теорію випадкових матриць. Випадкова проекція - простий приклад такої речі.

Також є фізичні об'єкти, що мають значення матриці / тензора. Тензор в'язких напружень є одним з таких (серед справжнього зоопарку). У майже однорідних в'язкопружних матеріалах може бути корисним моделювати деформації (пружні, в'язкі та ін.), А отже, напруження в точковому напрямку як випадковий тензор з невеликою дисперсією. Хоча в цьому напруженні / напруженні є сенс "лінійної карти", більш чесно описати це застосування випадкових матриць як рандомізацію того, що вже було матрицею.

Компресивне зондування як додаток при обробці зображення покладається на випадкові матриці як комбіновані вимірювання 2D-сигналу. Для цих матриць визначені специфічні властивості цих матриць, а саме когерентність і відіграють певну роль у теорії.

Вкрай спрощено, виявляється, що мінімізація норми L1 певного добутку матриці Гаусса та розрідженого вхідного сигналу дозволяє відновити набагато більше інформації, ніж ви могли очікувати.

Найпомітніші ранні дослідження в цій галузі, про які я знаю, - це робота університету Райсу: http://dsp.rice.edu/research/compressive-sensing/random-matrices

Теорія матричних добутків як "вимірювань сигналу" йде як мінімум ще до другої світової війни. Як розповів мені колишній професор, індивідуальне тестування кожного армійського військовослужбовця на, скажімо, на сифіліс, коштувало непомірно. Систематичне змішування цих зразків (шляхом змішування порцій кожного зразка крові разом та тестування їх) зменшило б кількість разів, які необхідно провести тестування. Це можна моделювати як випадковий бінарний вектор, помножений на розріджену матрицю.