Чому так зміни природного журналу - це відсоткові зміни? Що з журналів, що робить це таким?

43

Чи може хтось пояснити, яким чином властивості журналів роблять це, щоб ви могли робити лінійні регресії журналу, де коефіцієнти інтерпретуються як відсоткові зміни?

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
джерело

9

l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ , а дорівнює 1 плюс зміна відсотка.

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

Диференціюючи рівняння відносно X1, я думаю, що нас ставить на шлях у відповіді на питання краще, ніж це стосується виразів рядів.

— Чарльз

45

Для та близьких один до одного, процентна зміна наближає різницю . $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

Чому зміна відсотка приблизна різниця журналу?

Ідея підрахунку полягає в тому, що ви можете наближати плавну функцію за допомогою лінії. Лінійне наближення є просто першими двома членами серії Тейлора . Розширення Тейлора першого порядку навколо задається: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$ Права частина спрощує до отже:

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

Тож для в околиці 1 ми можемо наблизити лінією Нижче наведено графік і . $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

Приклад: . $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Тепер розглянемо дві змінні та такі, що . Тоді різниця в журналі становить приблизно відсоткову зміну : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

Зміна відсотків - це лінійне наближення різниці журналів!

Чому різниці в журналі?

Часто, коли ви думаєте з точки зору складних відсоткових змін, математично більш чистою концепцією є думка з точки зору різниць журналу. Коли ви багаторазово множуєте терміни разом, часто зручніше працювати в журналах і замість цього додавати терміни разом.

Скажімо, наше багатство в часі задається через: Тоді може бути зручніше написати: де . $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Де відсоткові зміни та різниця журналів НЕ однакові?

Для великих відсоткових змін різниця журналів - це не те саме, що і відсоткові зміни, оскільки наближення кривої до лінії стає гірше і гірше, чим далі ви отримаєте від . Наприклад: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

Яка різниця журналів у цьому випадку?

Один із способів задуматися над тим, що різниця в журналах .47 еквівалентна накопиченню 47 різних різниць журналу .01, що становить приблизно 47 1% змін усіх складених разом.

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

Потім експонуйте обидві сторони, щоб отримати:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

Різниця в журналі .47 приблизно еквівалентна 47 різним на 1% збільшує складні, а ще краще, 470 різних .1% збільшує всі складені тощо.

Кілька відповідей тут роблять цю ідею більш зрозумілою.

— Меттью Ганн
джерело

+1, сподіваючись, що заплановане продовження цієї відповіді обговорить умови, коли наближення розпадається.

— whuber

4

+1. Щоб додати незначну точку, 1,6 до 1 - це зменшення на 37,5%, 1 - 1,6 - збільшення на 60%, різниця журналу 0,47 не залежить від напрямку зміни і завжди знаходиться між 0,375 та 0,6. Коли ми не знаємо або не піклуємось про напрямок змін, різниця в журналі може стати альтернативою взяттю середніх змін у два відсотки, навіть коли відсоткові зміни великі.

— Пол

9

Ось версія для манекенів ...

Ми маємо модель - проста пряма лінія , що проходить через хмару даних - і ми знаємо , що коли ми оцінюємо коефіцієнти, а збільшення попереднього значення буде приводить до збільшення значення , від , як . Але одиниці насправді можуть бути безглуздими в абсолютних значеннях. $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

Тож ми можемо замість цього змінити модель на (абсолютно нові коефіцієнти). Тепер для того ж збільшення одиниці ми маємо зміни $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

Щоб побачити наслідки зміни процентного співвідношення, ми можемо пояснити : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ - відносна зміна, і від , зміна відсотка. $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

Ключовим для відповіді на запитання є те, щоб побачити, що для малих значень , що означає те саме використання перших двох термінів розширення Тейлора, що Метью використовував, але на цей раз ( серія Маклауріна ) оцінювали в нуль, тому що ми працюємо з показниками, на відміну від логарифмів: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

або з як змінна : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

так навколо нуля (ми оцінили розширення полінома в нуль, коли ми робили ряд Тейлора). Візуально, $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— Антоні Пареллада
джерело

Ваша відповідь цілком зрозуміла: нам потрібні невеликі коефіцієнти, щоб можна було інтерпретувати різницю журналів як відсоткові зміни, але відповідь @aksakal показує, що нам потрібні лише невеликі зміни (тобто lim Δx --> 0). Чи можете ви поясніть, як вони рівноцінні?

— towi_parallelism

7

Скажімо, у вас є модель Візьміть похідну журналу:

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

Тепер ви можете бачити, що нахил тепер є нахилом відносної зміни : $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

Якщо у вас не було перетворення журналу, ви отримаєте нахил абсолютної зміни : $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

Я не замінив на щоб підкреслити, що це працює для невеликих змін. $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Аксакал
джерело

4

У нинішніх відповідях є багато чудових пояснень, але ось ще одне оформлене з точки зору фінансового аналізу нарахування відсотків за початковою інвестицією. Припустимо, ви маєте початкову суму в одну одиницю, яка нараховує відсотки за (номінальною) ставкою річних , з відсотками "складеними" протягом періодів року. Наприкінці року вартість початкової інвестиції однієї одиниці становить: $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

Чим частіше цей відсоток "ускладнюється", тим більше грошей ви отримуєте за свої первісні інвестиції (оскільки складання коштів означає, що ви отримуєте відсотки від ваших відсотків). Приймаючи обмеження як ми отримуємо "безперервно ускладнюючи інтерес", який дає: $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

Прийняття логарифмів обох сторін дає , а це означає, що логарифм відношення кінцевої інвестиції до початкової інвестиції - це постійно зростаюча процентна ставка. З цього результату ми бачимо, що логарифмічні відмінності в результатах часових рядів можна інтерпретувати як постійні складні темпи зміни . (Ця інтерпретація також виправдана відповіддю аксакалу , але теперішня робота дає вам ще один спосіб поглянути на це.) $r = \ln I(\infty)$

— Відновіть Моніку
джерело