Чи кожна нестаціонарна серія може бути конвертована в стаціонарну серію через диференціювання

Чи можна кожен нестаціонарний часовий ряд перетворити на стаціонарний часовий ряд, застосувавши диференціювання? Крім того, як ви вирішите порядок розходження, який слід застосувати?

Ви просто розрізняєтесь з інтервалами 1,2 ... n і кожен раз виконуєте тест кореневих одиниць нерухомих, щоб побачити, чи є отриманий ряд нерухомим?

time-series stationarity

— Віктор
джерело

Відповіді:

Ні. Як контрприклад, нехай - будь-яка випадкова величина, і часовий ряд має значення в момент . Різниця за час - це лінійна комбінація $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (i) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((i + j) X) = \exp (i X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (i X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

для коефіцієнтів (які можна обчислити, але значення яких для даного обговорення не мають значення). Якщо є постійним, ліва і права сторони мають різні розподіли, що доводить, що різниця не є нерухомою. Тому жодна кількість розрізнень не зробить цей часовий ряд нерухомим. $w_j$ $X$ $k^\text{th}$

— дзижчати
джерело

Отже, даючи часовий ряд (лінійний), як ви знаєте, чи може він коли-небудь різнитися, щоб сформувати нерухомий ряд?

— Віктор

Поясніть, будь ласка, що ви маєте на увазі під "лінійним" часовим рядом. Взагалі процес підгонки моделі AR означає оцінку кількості диференціювання, необхідного для того, щоб зробити ряд нерухомим.

— whuber

Спасибі ... все, я думаю про це. Я не знаю, скільки я не знаю

— Віктор

Це, мабуть, є наслідком того, що експоненціальна функція є власною похідною, і це мені відразу підказує, що часовий ряд може бути стаціонарним шляхом повторного розрізнення, якщо і лише тоді, коли "справжня" функція, яку він моделює, є поліномією ( або, що рівно, його розширення серії Тейлора є скінченним).

— zwol

@zwol Це добре розуміння - і саме тому експоненціальний контрприклад першим прийшов до тями - але це лише частина історії. Якщо очікування є поліноміальною функцією часу, то достатня диференціація зробить часові ряди першого порядку нерухомими : тобто перші моменти розподілів будуть інваріантними з часом. Однак розрізнення не обов’язково зробить більш високі моменти або багатовимірні моменти нерухомими.

— whuber

Відповідь шубером правильна; є безліч часових рядів, які не можна зробити стаціонарними шляхом розходження. Незважаючи на те, що це відповідає на ваше запитання в строгому розумінні, можливо, варто також зазначити, що в широкому класі моделей ARIMA з білим шумом диференціація може перетворити їх на моделі ARMA, і останні (асимптотично) нерухомі, коли решта коренів авторегресивні характерні многочлени знаходяться всередині одиничного кола. Якщо вказати відповідний стартовий розподіл для спостережуваного ряду, який дорівнює стаціонарному розподілу, ви отримаєте суворо стаціонарний процес часових рядів .

Отже, як правило, ні, не кожен часовий ряд можна конвертувати в стаціонарний ряд шляхом диференціації. Однак якщо ви обмежите свою сферу застосування широким класом моделей часових рядів класу ARIMA з білим шумом та відповідним чином заданим початковим розподілом (та іншими коренями AR всередині одиничного кола), то так, для стаціонарності можна використовувати диференціювання.

— Бен - Відновлення Моніки
джерело

+1 Можливо, для деяких (багатьох?) Додатків це корисніша відповідь, ніж суто теоретична.

— whuber

Так - я думаю, що іноді справа в тому, що "ось відповідь на ваше запитання, а ось ось відповідь на інше питання, яке ви також мали б задати".

— Бен - Відновлення Моніки