Сумніви щодо виведення рівнянь регресії Гаусса в рефераті

Я читаю цей передруковий документ , і у мене виникають труднощі після їх виведення рівнянь для регресії Гаусса. Вони використовують налаштування та позначення Расмуссена та Вільямса . Таким чином, адитивний, нульовий середній, стаціонарний і нормально розподілений шум з дисперсією$\sigma^2_{noise}$ передбачається:

$$y=f(\mathbf{x})+\epsilon, \quad \epsilon\sim N(0,\sigma^2_{noise})$$

Передбачається GP-попередник із нульовим середнім значенням $f(\mathbf{x})$, що означає, що $\forall \ d\in N$, $\mathbf{f}=\{f(\mathbf{x_1}),\dots,f(\mathbf{x_d})\}$ - вектор Гаусса із матрицею середнього значення 0 та коваріації

$$\Sigma_d=\pmatrix{k(\mathbf{x_1},\mathbf{x_1})& & k(\mathbf{x_1},\mathbf{x_d}) \\ & \ddots & \\k(\mathbf{x_d},\mathbf{x_1})& & k(\mathbf{x_d},\mathbf{x_d}) }$$

Відтепер ми припускаємо, що гіперпараметри відомі. Тоді рівняння (4) статті очевидно:

$$p(\mathbf{f},\mathbf{f^*})=N\left(0,\pmatrix { K_{\mathbf{f},\mathbf{f}} & K_{\mathbf{f^*},\mathbf{f}} \\K_{\mathbf{f^*},\mathbf{f}} & K_{\mathbf{f^*},\mathbf{f^*}}} \right)$$

Тут виникають сумніви:

1. Рівняння (5):

   $$p(\mathbf{y}|\mathbf{f})=N\left(\mathbf{f},\sigma^2_{noise}I \right)$$

   $E[\mathbf{f}]=0$, але я здогадуюсь $E[\mathbf{y}|\mathbf{f}]=\mathbf{f}\neq0$ бо коли я обумовлюю о $\mathbf{f}$, тоді $\mathbf{y}=\mathbf{c}+\boldsymbol{\epsilon}$ де $\mathbf{c}$ є постійним вектором і тільки $\boldsymbol{\epsilon}$є випадковим. Правильно?

2. У будь-якому випадку, це рівняння (6) мені більш незрозуміле:

   $$p(\mathbf{f},\mathbf{f^*}|\mathbf{y})=\frac{p(\mathbf{f},\mathbf{f^*})p(\mathbf{y}|\mathbf{f})}{p(\mathbf{y})}$$

   Це не звичайна форма теореми Байєса. Теорема Байєса була б

   $$p(\mathbf{f},\mathbf{f^*}|\mathbf{y})=\frac{p(\mathbf{f},\mathbf{f^*})p(\mathbf{y}|\mathbf{f},\mathbf{f^*})}{p(\mathbf{y})}$$

   Я якось розумію, чому два рівняння однакові: інтуїтивно зрозумілий, вектор відповіді $\mathbf{y}$ залежить лише від відповідного прихованого вектора $\mathbf{f}$, обумовлюючи таким чином $\mathbf{f}$ або на $(\mathbf{f},\mathbf{f^*})$повинно призвести до однакового розподілу. Однак це інтуїція, а не доказ! Чи можете ви допомогти мені показати, чому

   $$p(\mathbf{y}|\mathbf{f},\mathbf{f^*})=p(\mathbf{y}|\mathbf{f})$$

1. Якщо ми виправимо $\mathbf{f}$, то вся невизначеність у $\mathbf{y}$походить від шуму. Тож для рівняння (5) у статті, яку ми маємо, це дано$\mathbf{f}$ ми маємо в кожній точці незалежний шум з дисперсією $\sigma_{noise}^2$ і означають нуль $0$. Додаємо початкове середнє значення і отримуємо відповідь.
2. Один із способів довести запропоновану рівність $$p(\mathbf{y} | \mathbf{f}, \mathbf{f}^*) = p(\mathbf{y} | \mathbf{f})$$ полягає в пошуку розподілу в лівій частині і в правій частині якості. Обидва вони - Гаусса, на лівий бік ми вже знаємо відповідь. Для правого боку ми діємо аналогічним чином. Знайдемо умовний розподіл для$(\mathbf{y}, \mathbf{y}^*)$. З результатів першої частини ми знаємо: $$p(\mathbf{y}, \mathbf{y}^* | \mathbf{f}, \mathbf{f}^*) = \mathcal{N}((\mathbf{f}, \mathbf{f}^*), \sigma^2_{noise} I).$$ Використовуючи правила ймовірності, їх легко інтегрувати $\mathbf{y}^*$ з $(\mathbf{y}, \mathbf{y}^*)$, оскільки матриця коваріації є діагональною, а векторами $\mathbf{y}$ і $\mathbf{y}^*$є незалежними. Цим ми отримуємо: $$p(\mathbf{y} | \mathbf{f}, \mathbf{f}^*) = \mathcal{N}(\mathbf{f}, \sigma^2_{noise} I) = p(\mathbf{y} | \mathbf{f}).$$