Пошук MLE для однозначного експоненціального процесу Хоукса

Універсальний експоненціальний процес Хоукса - це захоплюючий точковий процес зі швидкістю прибуття події:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

де - часи прибуття події.$t_1,..t_n$

Функція вірогідності журналу є

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

які можна обчислити рекурсивно:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Які числові методи я можу використовувати, щоб знайти MLE? Який найпростіший практичний метод здійснити?

Системний алгоритм Nelder-Mead, здається, працює добре. Він реалізований на Java бібліотекою Apache Commons Math за адресою https://commons.apache.org/math/ . Я також написав документ про процеси Хоукса в точкових моделях процесів для багатовимірних високочастотних нерегулярно розташованих даних .

felix, використовуючи exp / log перетворення, схоже, забезпечує позитивність параметрів. Щодо дрібної альфа-справи, знайдіть на arxiv.org документ, що називається "граничні теореми майже нестабільних процесів Хоукса"

Я вирішив цю проблему за допомогою бібліотеки nlopt . Я знайшов ряд методів, що сходилися досить швидко.

Ви також можете зробити просту максимізацію. В R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)