Ідентифікація функцій, що генерують момент

Чи є неідентичні розподіли, які, можливо, мають однакову функцію генерування моментів?

Так.

У вправі "Стюарт і Орд" ( "Розширена теорія статистики Кендалла" , 5-е видання, приклад 3.12) цитують результат Т. Дж. Стілтьєджі (що, очевидно, з'являється у його завершеннях "Еувр" , 1918 р. ):

Якщо - непарна функція періоду $f$ , покажіть це$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

для всіх інтегральних значень . Звідси видно, що розподіли$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

мати однакові моменти незалежно від значення .$\lambda$

(В оригіналі з'являється лише як λ ; обмеження на розмір λ виникає з вимоги зберігати всі значення функції густини d F невід'ємними.) Вправу легко вирішити за допомогою підстановки x = exp ( y ) та заповнення квадрата. Випадок λ = 0 - добре відомий лонормальний розподіл .$|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$